§ 30д. Рекуррентные формулы для функций Бесселя

Если умножим выражение (5.314) на и продифференцируем, то найдем

Выделив в правой части множитель и сравнив с выражением (5.314), получим

Выполнив дифференцирование в левой части, разделив на и обозначив дифференцирование по штрихами, найдем

Повторяя ту же операцию с умножением на вместо будем иметь

Подстановка выражения (5.322) в (5.323) дает

Замена в выражениях (5.322) — (5.324) на приводит к рекуррентным формулам для Дифференцируя формулу (5.315) и подставляя из выражения (5.322) и из аналогичного выражения, получаем, что при [когда ]

Аналогичную операцию можно применить и к выражению (5.323), так что

После вычитания одной из этих формул из другой получим

Полезные интегральные формулы получаются путем интегрирования равенства, послужившего для вывода выражения (5.322), и аналогичного ему равенства, связанного с формулой (5.325),

Такое же интегрирование выражений (5.323) и (5.326) дает