§ 12. Единственность решения.

Прежде чем находить решения волнового уравнения, соответствующие данной краевой задаче, следует определить, какие величины надо задать, чтобы решение было единственным. Рассмотрим область, не содержащую источников и ограниченную изнутри поверхностями а снаружи поверхностью Пусть являются функциями координат, по не зависят от напряженностей полей. Предположим, что два решения уравнений Максвелла совпадают между собой в любой точке области при Теорема Умова — Пойнтинга (§ 3 гл. XIII) и закон Ома для разностных полей дают следующее соотношение:

Чтобы поверхностный интеграл равнялся нулю, должно выполняться равенство

Таким образом, если или равны нулю при то поверхностные интегралы исчезают. Член в квадратных скобках либо равен нулю, либо положителен, но при он был равен пулю, поэтому если он вообще меняется, то он должен становиться положительным. Но первый член в левой части тоже либо равен нулю, либо больше нуля. Следовательно, подинтегральное выражение равно нулю, т. е. Таким образом, решения одинаковы и полностью определяются начальными значениями полей внутри области и тангенциальными компонентами или В на поверхности, ограничивающей эту область, заданными для любого момента времени Практически обычно имеют дело со стационарными решениями задачи; в этом случае значения величин в какой-нибудь момент времени полностью определяют значения этих величин во все предшествующие моменты времени.