§ 5. Метод изображений. Проводящие плоскости.

Применение критерия, выведенного в § 1, показывает, что для систем, содержащих более одного точечного заряда, потенциал нельзя получить при помощи двухмерной аналогии. Тем не менее два метода, используемые для решения двухмерных задач, можно использовать в трехмерном случае. Одним из них является метод изображений. В любом случае, когда уравнение замкнутой проводящей поверхности, находящейся в поле точечного заряда записывается в виде

(где - расстояние от до точки на поверхности, расстояние от некоторой точки находящейся по другую сторону поверхности, до задачу можно решить методом изображений. Мы рассмотрим только простейшие поверхности — сферу и плоскость. Из симметрии очевидно, что для решения задачи о точечном заряде, расположенном в плоскости вблизи

бесконечной проводящей плоскости или вблизи двух таких плоскостей, пересекающихся вдоль оси z под углом следует поместить его изображения в плоскости в тех же точках, что и в двухмерном случае (фиг. 28). Сложение потенциалов точечного заряда и его изображений дает в области, заключенной между пересекающимися плоскостями, точно такой же потенциал V, какой создается зарядом и равным ему по величине индуцированным зарядом противоположного знака, распределенным по плоскостям. Поверхностную плотность этого индуцированного заряда о можно найти, вычислив на поверхности металла. В случае точечного заряда помещенного на расстоянии а от заземлевной проводящей плоскости, плотность индуцированного заряда в точке согласно § 15 гл. I и формуле (1.42), равна

где - расстояние от до Из § 18 гл. II известно, что никакое распределение истинных зарядов в пространстве, отделенном от заземленной проводящей плоскостью, не может повлиять на величину плотности зарядов а, индуцированную на стороне, обращенной к