§ 2. Потенциал поверхностей второго порядка, определяемых уравнением ...

В качестве примера применения полученной выше формулы покажем, что любое из трех семейств непересекающихся поверхностей второго порядка, определяемых уравнением

где можно рассматривать, как семейство эквипотенциальных поверхностей. Чтобы представить себе эти поверхности, будем менять в указанных пределах. В интервале — каждый член уравнения (5.4) положителен, так что соответствующие поверхности суть эллипсоиды. При мы имеем сферу с бесконечным радиусом, а при эллипсоид сплющивается в эллиптический диск, лежащий в плоскости

Изменению в пределах от до соответствует переход на плоскости из области, лежащей внутри диска, во внешнюю область. Последняя представляет собой предельный случай однополоетного гиперболоида, описываемого уравнением (5.4) при — Когда однополостный гиперболоид сплющивается в участок плоек ости включающий ось х и лежащий гиперболами, пересекающими ось в точках

Изменению в пределах от до соответствует переход на плоскости в область, лежащую по другую сторону этих гипербол. Эта область есть предельный случай двухполостного гиперболоида, описываемого уравнением (5.4) при сплющенного в плоскость При получается другой предельный случай: два «листа» этого гиперболоида сливаются друг с другом в плоскости Таким образом, через точку пространства проходит одна поверхность каждого семейства. Нетрудно показать, что эти три семейства являются взаимно ортогональными, и, следовательно, к ним можво применить теорию, изложенную в § 5 гл. III, приводящую к эллипсоидальным гармоникам. Ввиду сложности последних мы не будем здесь рассматривать их в общем виде и ограничимся, несколько позднее, исследованием лишь частного случая сфероидальных гармоник.

Возвращаясь к нашей задаче, положим

и

В этих обозначениях уравнение (5.4) сведется к и носле дифференцирования будем иметь

так что

Повторное дифференцирование дает

Прибавляя аналогичные выражения для получим

Подставляя полученные выражения в уравнение (5.2), находим

и, следовательно,

Таким образом, поверхности рассматриваемого семейства могут быть эквипотенциальными, а их потепцнал определяется по формуле (5.3):

Эллиптический интеграл вида (5.7) можно найти в книге Пайерса [формулы при Постоянные могут быть выбраны действительными пли мнимыми, лишь бы потенциал V был действительным.