§ 32. Функция Бесселя нецелого порядка. Сферические функции Бесселя.

Если нецелое число, то общее решение уравнения бесселя имеет вид

Функция в этом случае не нужна, поскольку она является линейной комбинацией Формулы § 30д справедливы и для функций Бесселя нецелого порядка. Особенно простой вид имеют функции где — целое число; так, например, если подставить в выражение и сравнить полученный результат с рядами для синуса и косинуса (см. Двайт, 415.01 и 415.02), то получим

Подстановка в формулу (5.324) дает

В случае получаем

Таким же путем можно получить, очевидно, выражение

где верхним пределом каждой из сумм является целое число, наиболее близкое к указанному в формуле. Заметим, что, согласно формуле (5.315),

поскольку равен нулю. Заменяя на к в формуле (5.314), получаем, что при

Сферические бесселевы функции и пп определяются следующими выражениями:

где функции, используемые Шелкуновым. Последние появляются при изучении сферических электромагнитных волн и недавно были затабулированы. Из выражений (5.402), (5.320), (5.322) и (5.323) следует, что

Аналогичные формулы имеют место и для Дифференцирование формул (5.404) и исключение дает дифференциальное уравнение для функции или