§ 16. Вихревые токи в тонкой цилиндрической пленке.

Когда все вихревые токи в тонкой бесконечной приводящей цилиндрической пленке радиуса а текут параллельно ее оси, вектор-потенциал поля, индуцирующего эти токи, должен также быть направлен параллельно оси, и магнитное поле в этом случае является двухмерным. При этом, как мы видели в § 26 гл. VII, вектор-потенциал обладает свойством электростатической функции потока: его значение в каждой точке представляет поток между этой точкой и некоторой другой фиксированной точкой. Пусть вектор-потенциал поля вихревых токов, полный вектор-потенциал; тогда для э. д. с. на единицу длины, индуцируемой в полосе а, В шириною при изменении полного потока приходящегося на единицу длины этой полосы, получим, используя закон Ома (6.6), следующее соотношение:

где плотность тока, -удельное сопротивление пленки. Если разложить ток в ряд по круговым гармоникам, то, согласно выражениям (7.90) и (7.93), будет существовать простое соотношение между членом этого разложения и членом разложения в ряд вектор-потенциала толя этого тока. На поверхности пленки это соотношение имеет вид

Пусть разложены по круговым гармоникам; тогда, подставляя выражение (11.127) в (11.126), мы видим, что эти разложения удовлетворяют

следующему уравнению:

С точностью до постоянного множителя это уравнение совпадает с уравнением (11.112), так что, задав возбуждающее поле при в виде (11.115),

можно определить вектор-потенциал вихревых токов [см. выражение (11.116)] следующим образом:

Заменяя на и интегрируя по частям, получим

Для синусоидального возбуждающего поля [см. выражение (11.118)] имеем

«и»

Аналогично выражениям (11.120) и (11.121), вектор-потенциал ноля вихревых токов при определяется следующим образом:

Для нужно заменить на если источники поля находятся вне цилиндра, то, так же как и в § 15, имеем

Отношение гармоник поля при наличии пленки и соответствующих гармоник поля при отсутствии пленки равно

Те замечания, которые были сделаны относительно выражения (11.123), полностью относятся и к этому. При расположении источников внутри цилиндра отношение новой амплитуды к старой в области вне пленки определяется попрежнему соотношением (11.136). Согласно выражениям (11.127) и (11.133), плотность вихревых токов в пленке равна

Согласно соотношению (10.18), средняя рассеиваемая мощность на единицу длины цилиндра равна

Если выражение (11.137) возвести в квадрат и проинтегрировать от 0 до то все члены, содержащие смешанные произведения, исчезнут и останется только сумма интегралов от функции каждый из которых (см. Двайт, 854.1) равен Таким образом, каждому члену разложения можно сопоставить независимый контур, поэтому средняя рассеиваемая энергия в единицу времени равна