§ 8. Решение для цепей общего вида.

Мы видели [см. решения (9.4) и (9.6)], что для одной ячейки с оператором решение имеет вид

где — два значения получаемые после подстановки в дифференциальное уравнение (9.3) и решения соответствующего алгебраического уравнения. Амплитуды и — это постоянные интеграции, определяемые заданными начальными условиями, а именно: во-первых, начальной энергией магнитного поля, создаваемого токами в катушках индуктивности, и, во-вторых, энергией электрического поля, создаваемого зарядами на конденсаторах. Вполне естественно попытаться сделать подобную же подстановку в систему дифференциальных уравнений (9.56). Решение будет найдено, если в результате этой подстановки мы сумеем определить величины так, чтобы удовлетворить системе дифференциальных уравнений кроме того, получить число произвольных постоянных, равное максимальному числу начальных условий, которые мы можем задать. Число начальных условий, очевидно, равно числу независимых электрических и магнитных полей, определяющих энергию системы. Не следует задавать лишь ток, протекающий по сопротивлению, поскольку он не определяет энергию и мгновенно прекращается, как только выключается э. д. с. Если имеется независимых контурных токов, то может существовать самое большее постоянных интеграции.. Таким образом, искомая подстановка имеет вид

Введем для удобства новую алгебраическую величину определяемую соотношением

Тогда, после сокращения на система уравнений (9.56) примет вид

Как и в § 9 гл. VI, выпишем определитель

Поскольку начальные условия, определяющие величины не были использованы в уравнениях (9.59), то эти уравнения нельзя разрешить относительно Вследствие того, что все правые части — нули, мы получим, употребляя обычный метод детерминантов, следующий результат:

Тривиальное решение очевидно, удовлетворяет системе уравнений (9.59), но не удовлетворяет начальным условиям. Ясно, что начальные условия могут быть удовлетворены совместно с соотношениями (9.61) только в том случае, если

Этот детерминант называется характеристическим. Раскрывая его, получим для алгебраическое уравнение степени не выше так как входит в выражение для не более, чем по второй степени. Решение этого уравнения дает возможные значения выраженные через параметры электрической цепи. Каждое значение полученное таким способом, определяет собственную частоту и затухание некоторого процесса в системе. Подставляя его в выражение (9.57), получим для частоты

Для этой частоты система уравнений (9.59) принимает вид

Эти уравнения совпадают по форме (за исключением того, что их правые части равны нулю) с уравнениями (6.32), поэтому соотношения, аналогичные соотношениям (6.37), не зависящим от правой части, выполняются и для этих уравнений. Таким образом, если алгебраическое дополнение в определителе (9.60), то

Очевидно, этому уравнению удовлетворяют величины

где постоянная, соответствующая частоте Можно положить к равным любому числу от 1 до

Полное выражение для представляет собой самое большее сумму членов вида (9.63), т. е.

Подставляя выражения (9.65) в (9.66), получим не более уравнений, содержащих Дифференцируя, получим еще уравнений содержащих Таким образом, будем иметь

Полагая в этих уравнениях и используя начальные значения для можно найти

зшраженные через Последние определяются через с в выражение для которых, согласно соотношению (9.58), входят величины полученные из уравнения (9.62) и определяемые, в конечном счете, параметрами цепи. Таким образом, задача полностью решена.