§ 3. Скин-эффект в стационарном случае.

Уравнение (11.7) имеет простое решение в том случае, когда среда, обладающая проницаемостью и удельным сопротивлением заполняет полупространство Пусть плотность тока, частота изменения которого равна имеет в плоскости только компоненту не зависящую ни от х, ни от у. Тогда уравнение (11.7) дает

так как является функцией только z. Решением этого уравнения будет

Если плотность тока конечна при то Заменяя на и добавляя временной множитель, получим

где значение на поверхности Взяв теперь действительную часть, будем иметь

Таким образом, амплитуда плотности тока экспоненциально уменьшается, а фаза изменяется линейно.

Применяя формулу разложения косинуса и используя формулы (863.1) и (863.2) из справочника Двайта, для полного тока текущего в полосе шириной найдем

Заметим, что существуют такие значепия z, при которых ток меняет свое направление на. обратное, и поэтому удаление части проводящей среды, лежащей ниже некоторой определенной глубины, приведет к увеличению

полного тока. Мощность, поглощаемую в виде тепла и приходящуюся на поверхности, можно вычислить по формуле (11.10) с учетом формул (440.20) и (565.1) из справочника Двайта:

где эффективное значение тока Таким образом, активное сопротивление равно такому сопротивлению, которым при постоянном токе обладает поверхностный слой (скин-слой) толщиной

Рассмотренные здесь вихревые токи могли бы появиться в проводнике Лишь при наличии вблизи его поверхности однородного магнитного поля направленного вдоль оси у. Поведение и В в проводнике описывается одними и теми же дифференциальными уравнениями [см. (11.7) и (11.8)], поэтому обе эти величины затухают экспоненциально по мере удаления в глубь проводника. Чтобы вычислить рассеиваемую энергию, возьмем контурный интеграл от В вдоль сторон прямоугольника, расположенного перпендикулярно к оси х и вытянутого вдоль оси z настолько, что одна из его сторон длиной лежит вне поверхности проводника (но в непосредственной близости от него), где индукция равна а другая сторопа — далеко в глубине проводника, где индукция практически уже равна нулю. В интеграл войдет лишь значение поэтому, согласно соотношению (7.2) (пли из первого уравнения Максвелла), получим

Из выражения (11.22) следует, что рассеиваемая вихревыми токами мощность, приходящаяся на поверхность с площадью и определяемая через амплитуду магнитной индукции вне поверхности проводника (в непосредственной близости от него), равна

Самоиндукция приходящаяся на поверхности и обусловленная наличием магнитного поля виутрн проводника, находится из соотношений (11.20), (11.22), (8.36) и (11.3):

Сопоставление выражения (11.25) с выражением для сопротивления поверхности) приводит к соотношению

Отсюда следует, что величиной при высоких частотах можно полностью пренебречь.