Глава XI. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ

§ 1. Индуцированные токи в объемных проводниках.

Две последние главы были посвящены применению законов магнитного взаимодействия токов, а также закона Фарадея к системам, состоящим из линейных проводников. В настоящей главе мы получим, опираясь на эти законы, результаты, относящиеся к системам с объемными проводниками. Прежде всего следует заметить, что приводимое здесь рассмотрение, как и все, предшествующее ему, является приближенным, а именно — всюду предполагается мгновенность распространения электрических и магнитных полей, или, другими словами, предполагается, что можно пренебречь максвелловским «током смещения». Совершаемая при этом ошибка совершенно ничтожна, если частота процесса такова, что длина волны колебаний в системе значительно превышает размеры самой системы. В противном случае, т. е. если это условие оказывается невыполненным, необходимо решить полную систему уравнений Максвелла, о которой будет идти речь в гл. XIII.

Закон индукции Фарадея устанавливает, что при изменении магнитной индукции В в проводнике появляется электрическое поле величина и направление которого определяются соотношением

или, пользуясь магнитным вектор-потенциалом А (8.4), это можно записать в виде

Как только в проводнике появляется электрическое поле, в нем по закону Ома возникает электрический ток. Пусть — удельное сопротивление, плотность тока; тогда при помощи соотношения (6.8) уравнения (11.1) и (11.2) можно переписать в виде

Эти токи, протекая по проводнику, имеющему магнитную проницаемость создадут в нем магнитное поле, определяемое уравнениями

Из уравнений (11.3) — (11.6) легко получить уравнения, которым должны удовлетворять меняющиеся во времени величины внутри проводника. Исключая при помощи уравнения (11.3) величину В, дифференцируя

уравнение (11.5) по времени, а также учитывая соотношение (6.3), получим

Исключив из уравнений (11.4) и (11.6), имеем

Аналогично можно исключить из уравнений и (11.5), после чего, пользуясь выражением (7.1), находим

Уравнения (11.7)-(11.9) имеют форму хорошо известного уравнения теплопроводности, с той лишь разницей, что зависимая переменная величина является вектором, а не скаляром. В прямоугольных координатах каждая компонента, рассматриваемая как скаляр, удовлетворяет тому же самому уравнению. Однако это не имеет места для компонент в любой системе координату за исключением некоторых специальных случаев.

Задачи о вихревых токах, как и задачи о токах в линейных проводниках, естественно, распадаются на два класса: к первому относятся задачи о неустановившихся, а ко второму — об установившихся процессах. Последние проще всего рассматривать, исходя из понятия комплексной амплитуды, как это делалось в предыдущей главе. Начиная с этой главы, нам придется иметь дело с комплексными векторами. Поэтому условимся в дальнейшем комплексные и комплексно-сопряженные амплитуды обозначать знаком «V» и соответственно, поставленными сверху над символом. Те величины, у которых указанные знаки сверху отсутствуют, подразумеваются действительными, хотя в общем случае и зависящими от времени.

Внутри достаточно малого элемента объема ток пропорционален приложенной э. д. с. и импеданс этого объема равен просто его активному сопротивлению . В стационарном состоянии ток в элементе равен Таким образом, в соответствии с соотношением (10.15) средняя мощность, рассеиваемая внутри такого элемента, определится по формуле