§ 11а. Теорема Гаусса о потоке электрической индукции.

Мы будем доказывать эту теорему, исходя из закона обратных квадратов и предполагая, что все пространство заполнено однородным диэлектриком. Последнее предположение будет в дальнейшем снято.

Рассмотрим малый элемент замкнутой поверхности (фиг. 6), внешняя нормаль к которой образует угол а с радиус-вектором из точки в которой расположен точечный заряд Каждую точку границы элемента соединим прямой линией с точкой так чтобы образовался малый конус. Этот конус имеет сечение со сферической поверхностью, проходящей через точку и имеющей центр в точке поэтому сова. Нормальная составляющая напряженности поля, созданного в точке зарядом

находящимся в точке равна

Нормальная компонента потока сквозь площадку определяется, как

Телесный угол, под которым видна площадка из точки равен так что

Если точка находится внутри замкнутой поверхности, то конус пересекает поверхность раз, причем и — число нечетное; угол а оказывается раз острым и раз тупым, так что суммарная величина потока в конусе равна

Фиг. 6.

Если же точка находится вне поверхности, то — число четное, и количество отрицательных и положительных значений одинаково; поэтому их суммарный вклад равен нулю. Чтобы получить полный поток сквозь поверхность, окружающую заряд, нужно проинтегрировать по ней нормальную компоненту что дает

Добавляя сюда ноток, обусловленный всеми зарядами, находящимися внутри мы получаем теорему Гаусса, гласящую, что если на произвольной замкнутой поверхности задана напряженность электрического ноля то

где единичный вектор внешней нормали к поверхности, а интегрирование производится всей поверхности, охватывающей заряд

Если пространство вне рассматриваемой поверхности является неоднородным и содержит различные диэлектрические и проводящие тела, то необходимо ввести определенные предположения относительно электрических свойств веществ в электростатических полях. Поэтому при рассмотрении таких полей мы будем считать, что природа всех тел чисто электрическая и что они состоят из положительных и отрицательных зарядов, ноля которых подчиняются закону обратных квадратов. гипотеза позволяет объяснить электростатические явления в любом материальном теле путем сложения полей всех составляющих его зарядов. Следовательно, уравнение (1.27) остается в силе независимо от нриридьг диэлектрических или проводящих веществ, находящихся вне рассматриваемой поверхности, так как оно учитывает поля, созданные внешними зарядами. Принятая нами гипотеза содержится в явном или неявном виде в большинстве курсов по электростатике.