§ 2. Круговые гармоники.

Термин «гармоника» в наиболее общем смысле этого слова употребляется по отношению к любому решению уравнения Лапласа. Обычно, однако, его применяют к более узкому классу решений, именно к таким решениям, которые можно в определенных координатных системах записать в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты. Решение задачи, удовлетворяющее заданным граничным условиям, образуется путем суммирования некоторого числа таких гармоник, взятых с надлежащими коэффициентами.

В обычных цилиндрических координатах, описанных в § 6 гл. III, цилиндрические гармоники записываются в виде

В частном случае, когда функция постоянная величина, задача сводится к двухмерной и гармоники называются круговыми. В дальнейшем

мы будем вместо употреблять а вместо употреблять . В этих обозначениях уравнение Лапласа (3.18) для однородной изотропной диэлектрической среды, если его у множить на примет вид

Будем искать его решения в виде

Подставляя решение (4.5) в уравнение (4.4), получим

Очевидно, что этому уравнению удовлетворяют решения следующих уравнений:

Уравнение (4.6) является уравнением гармонического осциллятора; его решением будет

Легко убедиться, что решением уравнения (4.7) при является функция

а при

Число называется показателем гармоники. Круговые гармоники бывают с показателем, равным нулю,

и с показателем, отличным от нуля,

Сумма таких гармоник, взятых с различными множителями для каждого иди интеграл но тоже, очевидпо, являются решением уравнения (4.4)

Следует заметить, что мы не накладывали никаких ограничений на значение

Если для любых значений 0 при — целых числах, имеет место равенство

то из него вытекает, что

Чтобы доказать это утверждение, необходимо помножить правую и левую части равенства (4.15) на а затем проинтегрировать в пределах от что даст

Все члены, для которых равны нулю (см. Двайт, стр. 445 и 465). При (см. Двайт, 450.11 и 858.4) мы имеем

При помощи аналогичной процедуры, используя только легко доказать, что