§ 13. Двухмерный ток.
Как было отмечено в § 1 гл. IV, в электростатике, строго говоря, не существует двухмерных задач ввиду того, что 1 любой цилиндрический проводник имеет конечную длину, а получить
резкую границу электрического поля на концах цилиндра ненозможно, так как в природе нет сред с нулевой диэлектрической проницаемостью. Напротив, многие задачи о токах в проводниках являются строго двухмерными, так как ток можно сосредоточить в конечной области, ограничивая эту область изолирующей поверхностью. К этому типу задач принадлежат все задачи о токах в тонких плоских проводящих пленках. Для решения этих задач применимы все методы, описанные в гл. IV. Наиболее эффективным из них является метод сопряженных функций.
В § 10 гл. IV было показано, что решение уравнения (6.48) в случае потенциала, зависящего только от х и у, имеет вид
где
Если V — потенциальная функция, то плотность тока 
в любой точке, согласно формулам (4.57) и (6.7), будет равва
Если выбрать в качестве потенциальной функции 
то
В формулах (6.53) и (6.54) принято то же самое правило знаков, что и в формуле (4.57).
Таким образом, если проводник ограничен эквипотенциальными линиями 
и силовыми линиями 
и 
то ток через него будет равен
Сопротивление проводника по закону Ома равно
Если в формуле (6.55) эквипотенциальные линии 
являются замкнутыми кривыми, то электростатическая емкость между электродами, находящимися в вакууме, будет равна (см. § 12 гл. IV)
где через 
обозначен интеграл от 
взятый по замкнутому контуру вдоль 
или 
Таким образом, зная С, можно найти сопротивление между 
и 
если проводящая среда заполняет то же самое пространство, что и электростатическое поле. При помощи формул (6.55) и (6.56) находим
Так, из формулы (4.69) следует, что сопротивление на единицу длины между двумя параллельными цилиндрическими электродами, оси которых находятся на расстоянии 
друг от друга, равно
где х - удельное сопротивление среды между цилиндрами, 
их радиусы. Знак минус соответствует случаю, когда один цилиндр расположен внутри другого, знак плюс — случаю, когда ни один из цилиндров не охватывает другого.
