§ 18. Нахождение сопряженных функций.

В большинстве случаен поиски функции удовлетворяющей заданным граничным условиям в плоскости z, начинаются с поисков такого преобразования, которое упростило бы формы границ. Если и новые граничные условия окажутся незнакомыми, нужно искать второе преобразование, еще более упрощающее граничные условия. В конце концов можно прийти к такой системе, в которой решение написать сравнительно просто. После этого необходимо проделать обратный

путь — к решению исходной задачи. Часто, однако, возможно, опуская промежуточные этапы, написать сразу функцию путем исключения промежуточных комплексных переменных. Но даже если это и невозможно, промежуточные переменные служат в качестве параметров, связывающих между собой

При совершении таких преобразований часто очень полезно представлять себе рассматриваемую область плоскости в виде упругой мембраны, обладающей свойством сохранять углы между любыми нанесенными на ней линиями при любых деформациях ее границ. При этом мембрана не может отрываться от границ, но может скользить вдоль них, а также бесконечно растягиваться и сжиматься.

Предположим, например, что в интересующей нас задаче границы проводника представляют собой две неконцентричные и непересекающиеся окружности, или две пересекающиеся окружности, или же, наконец, две окружности одного типа и одну или две другого тина, пересекающиеся ортогонально. При помощи соотношении (4.64) любую из этих областей можно преобразовать в прямоугольную:

Мы употребляем здесь вместо чтобы подчеркнуть чисто геометрический характер этого преобразовании. Из уравнений (4.67) и (4.68) следует, что когда х и у принимают значения - меняются в пределах Таким образом, функция (4.76) преобразует горизонтальную полоску шириной плоскости во всю плоскость z. Вертикальные линии внутри этой полоски превращаются, согласно уравнению (4.67), в окружвости, описываемые уравнением

а горизонтальные линии превращаются в окружности, проходящие через точки и описываемые уравнением (4.68)

Это преобразование можно представить себе, вообразив бесконечную горизонтальную полоску упругой мембраны шириной вращаемую в направлении против часовой стрелки вплоть до достижения ею вертикального положения в плоскости z. При этом точки превращаются соответственно в линии Сожмем теперь эту полоску около точек и начнем сближать точки перемещая их вдоль оси у, при этом центральная часть полоски будет растягиваться в горизонтальном направлении. Линии и подобно вееру развертываются соответственно около точек до тех пор, пока С А не совпадет с . В результате мембрана оказывается растянутой на всю плоскость z, а ее бесконечно малые дуги и становятся бесконечно удаленными дугами, разделяемыми осью х на две равные части.

Все эти преобразования, за исключением первого поворота, показаны на фиг. 33. Если вдоль линий соединения с и нет никаких нарушений непрерывности, то потенциал в горизонтальных полосках на плоскости должен быть периодичным по с периодом

Задачи, в которых рассматриваются линейные заряды и прямоугольные границы с проводником или отдельные участки таких границ, находящиеся под разными потенциалами, можно решить методом изображеиий. В других

случаях может представиться необходимость развернуть эти прямоугольные границы в полуплоскость, что осуществляется посредством преобразования Шварца, в котором в общем случае используются эллиптические функции.

Фиг. 33.