§ 8. Задача о диэлектрическом клине.

Уравнение (4.4) имеет еще одно решение, соответствующее значениям Для получения его необходимо в соотношениях постоянную замелить на Тогда

Это решение периодично не по , а по поэтому в интеграле и в ряде (4.14) взаимно ортогональными будут теперь функции а не Эти гармоники можно использовать при решении задачи о диэлектрическом клине, ограниченном двумя плоскостями и , имеющем диэлектрическую проницаемость и находящемся в поле линейного заряда распределенного вдоль линии в среде с диэлектрической проницаемостью (см. фиг. 29). Поскольку в такой системе отсутствуют цилиндрические границы, на которых должны исчезать члены, содержащие синусы или косинусы в решопии (4.39), нельзя ограничиваться дискретными значениями а следует считать меняющимся непрерывно, поэтому решение задачи искать по форме интеграла (4.14). Обозпачнм величину через и запишем потенциалы в виде

где относятся к области — к области к области . Постоянную можно выбрать так, чтобы потенциал V равнялся нулю в любой заданной точке. Если в качестве такой

Фиг.

точки выбрать точку то постоянная будет равна величине

Окружность а проходит через точку и является силовой линией, потому что всюду вдоль нее Отсюда следует, что половина полного потока индукции приходится на долю силовых линий, уходящих в бесконечность, другая же половина связана с силовыми линиями, оканчивающимися в точке где, таким образом, находится заряд По теореме об интегралах Фурье, если два из интегралов вида (4.40) — (4.42) равны между собой при любых значениях то равны между собой и их подиптогральныо функции. Используя граничные условия (1.48) и (1.49) при , после некоторых преобразований подинтегральных выражений для и получим

Аналогичная процедура для при и для при а дает

Теперь остается удовлетворить еще одному условию при Для этого напишем выражение для плотности потока индукции сквозь плоскость

Умножим обе части на и проинтегрируем в пределах от до Тогда выражение, стоящее слева, по теореме Гаусса равно так как интегральная функция отлична от нуля только вблизи правая же часть находится по теореме о разложении в интеграл Фурье. В результате получим

Кроме того, равно при поэтому

Исключив или на этих уравнений, получим

Из выражений (4.43) — (4.45) для имеем

где верхние знаки относятся к А, а нижние — к В. В частном случае, когда система симметрична относительно плоскости — потенциал внутри диэлектрического клпна равен

Подинтегральное выражение остается конечным при экспоненциально убывает с ростом к. Построив график этой функции в зависимости от к, можно вычислить интеграл (4.47) при помощи планиметра. Если существует только один заряд в точке то члены, обусловленные зарядом расположенным в начале координат, и входящие в решение (4.40) — (4.42), можно исключить из него путем добавления к и члена

Если на некотором цилиндре потенциал поддерживается равным нулю, то решение находится в виде суммы двух решений: одного для линейного заряда расположенного в точке а другого — для линейного заряда расположенного в точке Если же нулевой потенциал имеют два цилиндра то необходимо применять дискретный набор величин в соотношении (4.39) и искать решение для потенциальной функции не в виде интеграла, а в виде ряда.