§ 24. Возбуждение полого резонатора петлей с током.

В наиболее общем случае колебания в полости представляют собой суперпозицию рассмотренных выше колебаний отдельных типов. При этом не только колебания каждого типа совершаются независимо, как в отдельных линейных контурах, но и отношение возбуждающего тока к эквивалентному току полости для колебаний какого-либо типа зависит только от геометрической конфигурации системы, как это имеет место и в случае линейных контуров с сосредоточенными параметрами. Кондон для упрощения вычисления взаимной индукции предложил разбить вектор-потенциал, соответствующий типу колебаний, на два множителя: Первый, скалярный, множитель определяет зависимость от времени и интенсивность; величина его подбирается таким образом, чтобы интеграл по объему полости от квадрата второго, векторного, множителя был равен Векторы зависящие только от геометрии системы, являются «нормированными» безразмерными вектор-потенциалами. Из § 13 следует, что они обладают свойством взаимной ортогональности, а из выражения (15.1), в котором нужно положить так что остается только член видно, что они удовлетворяют следующему уравнению:

Из соотношения (15.93) можно выразить через эквивалентный ток резонатора следовательно, записать А как функцию

Задача заключается в определении входящих в это разложение коэффициентов через плотность возбуждающего тока При отсутствии зарядов дивергенция равна нулю, и поэтому плотность тока можно представить в виде ряда

Коэффициенты находятся путем умножения соотношения (15.177) на и интегрирования по объему Пусть полный возбуждающий ток течет по такому тонкому проводнику, что на его поперечном сечении вектор можно считать постоянным. Тогда, обозначая через элемент длины провода, мы сведем интеграл, стоящий в левой части, к линейному интегралу вдоль В правой же части равенства все члены, кроме будут равны нулю, т. е.

Заметим, что взаимная индукция между колебанием типа и проводом определяется совершенно так же, как в формуле вектор-потенциал, отнесенный к единичному току. Поскольку представлены в виде ряда по одной, и той же полной системе ортогональных функций, то уравнения Максвелла (13.10), связывающие между собой выражения (15.176) и (15.177), можно применить к каждому из членов в отдельности. Таким образом, выражая через А и учитывая, что -0, получим

Подстановка из соотношений (15.174) и (15.178) и деление обеих частей на приводят к следующему уравнению:

Приведенное уравнение получено при предположении, что стенки резонатора являются идеально проводящими, и, следовательно, бесконечно велико. Чтобы учесть небольшое поглощение, которое обычно и имеет место на практике, необходимо добавить к левой части уравнения член вида заменить на [значения определяются по формулам (15.96) и (15.97)] и ввести сопротивление определяемое соотношением (15.102). Таким образом, уравнение (15.180) примет вид

Поскольку является периодической функцией времени, меняющейся с круговой частотой то колебание каждого типа будет подчиняться уравнению вынужденных колебаний осциллятора (10.3). Для определения амплитуды установившегося процесса нужно записать в виде виде разделить уравнение на ею и решить его относительно Резонанс наступает приблизительно при так что

При резонансе эквивалентный ток полости отстает от I на фазовый угол 90°.

Суммарное магнитное поле в резонаторе определяется из векторного потенциала А, равного сумме векторных потенциалов, описывающих колебания отдельных типов. Из соотношения (15.178) следует, что полное магнитное поле, пронизывающее петлю, равно т. е. члены, дающие отдельно самоиндукцию, здесь не выделены. Электродвижущая сила в петле, имеющей сопротивление равна

Подставляя сюда из соотношения (15.182) выражение для через для импеданса петли получим

Так как обычно очень большая величина, то первые члены в знаменателе велики по сравнению с последними, за исключением значений Те колебания, для которых дают индуктивную часть реактивного сопротивления, а колебания, для которых емкостную часть реактивного сопротивления. Эта формула позволяет качественно судить об изменениях реактивнохю сопротивления петли, возбуждающей резонатор. Если же несколько видоизменить выражение для можно получить и количественные данные. Основная трудность определения заключается в предположении о бесконечной тонкости провода, так как при этом вблизи него поле В бесконечно велико, а следовательно, и также обращается в бесконечность. В действительности, если толщина провода значительно меньше длины волны, то ноля в резонаторе будут такими же, как если бы возбуждающий ток был сконцентрирован на оси провода, а поверхность последнего совпадала бы с границей силовой трубки индукции. Правильное значение потока сцепления можно, следовательно, найти путем интегрирования А от одного конца петли до другого вдоль любой из кривых, лежащих на поверхности провода. Соответственно необходимо видоизменить и определение данное в соотношении (15.178). Заметим, что путь интегрирования в выражении (15.178) можно замкнуть, возвратившись в начальную точку на границе полости, что никак не скажется на величине так как вектор А перпендикулярен к гюанице. Этот интеграл будет равен, очевидно, поверхностному интегралу от В по площади петли.