§ 15. Натяжения в электрическом поле.

Понятие о силовых линиях и силовых трубках было введено нами лишь для более наглядного представления электрического поля. Возможно, однако, следуя Фарадою, пойти значительно дальше в развитии этих идей, а именно - рассматривать трубки как средство передачи электрических сил. Поскольку при решении ряда задач такая точка зрения может быть чрезвычайно полезной, посмотрим, какую систему натяжений надо постулировать для получения наблюдаемых электрических сил. Выясним, как должно зависеть натяжение вдоль силовой трубки от напряженности электрического ноля для того, чтобы сила взаимодействия между двумя равными зарядами противоположного знака, расположенными на расстоянии 2а друг от друга, выражалась бы законом Кулона. Обозначим эту зависимость через (77). Из формулы (1.2) напряженность поля в плоскости «симметрии (см. фиг. 9) равна

а кольцевой элемент площади

Фиг. 9.

Выписав силу Кулона в левой части, а натяжения в плоскости в правой части уравнения и разделив обе части на получим

Положим и представим в виде степенного ряда по тогда

Это равенство должно иметь место для любых значений следовательно, для любых значений х. Поэтому все за исключением Сокращая на получаем

Итак,

Это и есть то натяжение вдоль силовой линии, которое требуется для создания в соответствии с законом Кулона силы притяжения двух зарядов противоположного знака.

Очевидно, что если бы в исследованном нами случае имели место только силы латнжепня, действующие вдоль силовых трубок, то эти трубки стремились бы, по возможности, укоротиться и расположились бы в конце концов вдоль линии, соединяющей заряды. Однако мы знаем, что при равновесии силовые линии занолпяют все пространство вокруг зарядов, следовательно, между ними должны существовать пекоторые силы отталкивания, препятствующие их стягиванию. Для определения этого давления рассмотрим силу, действующую между двумя зарядами одного знака. Этот случай отличен от только что рассмотренного, потому что теперь силовые линии оканчиваются на бесконечности. Натяжение, приходящееся на единичную площадку сферы большого радиуса, убывает с расстоянием обратно пропорционально четвертой степени радиуса, как это ясно из выражения (1.35) и из закона обратных квадратов. Площадь поверхности сферы возрастает пропорционально квадрату радиуса, так что но этому направлению не передастся никаких сил. Поэтому полную силу можно рассматривать как результат отталкивания силовых линий в плоскости симметрии. Из выражения (1.2) для напряженности поля в этой плоскости имеем

Выполняя действия, аналогичные предыдущим, вместо выражения (1.34) получим

На том же основании, что и раньше, можно представить в виде и тот же самый путь вычисления приводит к

Таким образом,

Эта величина представляет собой силу отталкивания (на единицу площади) между двумя соседними силовыми линиями, необходимую для получения закона Кулона в случае двух зарядов одинакового знака. Эти результаты можно записать в следующих эквивалентных друг другу формах:

Так как являются функциям! только и то они имеют одина новый вид для любых полей независимо от их источников.