§ 3. Сферические электромагнитные волны. Диполь.

Как следует из результатов § 2 гл. XIII, все векторы электромагнитного поля удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению; поэтому если в изотропной непроводящей среде каждая компонента является функцией только то она должна удовлетворять следующему уравнению в полярпых координатах:

где Пусть тогда

В § 4 гл. XIII было показано, что решением этого уравнения будет

Как и в решении (13.25), первый член означает расходящуюся волну, а второй — сходящуюся волну. Дифференцируя уравнение (14.2)

последовательно по меняя порядок дифференцирования, мы придем к выводу, что производные и по также являются решениями уравнения (14.3); поэтому решение уравнения (14.2) можно представить в виде

Это решение позволяет написать выражение для поля, создаваемого любым электрическим мультииолем с изменяющимся во времени моментом. При вблизи начала координат электрический потенциал должен совпадать с электростатическим потенциалом, приведенным в § 8а гл. I. Таким образом, скалярный потенциал вблизи начала координат и соответствующий вектор Герца для мультиполей единичного момента, описанных в § 8а гл. I, в частном случае, диполя и линейного квадруполя, ориентированных в направлении z, будут, согласно соотношениям (14.5) и (13.7), равны

Поле излучения поверхностного квадруполя не определяется однозначно электростатическим потенциалом: оно зависит от направления токов, текущих между зарядами. В случае совершенно симметричного квадруполя получаем

Нетрудно заметить, что из девяти вторых производных независимыми между собой являются только шесть, так как порядок дифференцирования можно менять. Каждый из этих секторов после умножения на произвольную постоянную можно рассматривать как компоненту некоторого квадруполя общего вида, момент которого является симметричным тензором второго ранга, каким, например, являлась диэлектрическая проницаемость среды, рассмотренная в § 20 гл. 1. Аналогично и моменты мультиполей более высоких порядков являются тензорами более высоких рангов. Более полное изложение этих вопросов содержится в книге Стрэттона. Заменяя В на на В, можно из поля электрического мультиполя получить поле аналогичного магнитного мультиполя (см. § 11 гл. VII).

Наиболее важным видом мультипольного излучателя является электрический диполь, момент которого мы обозначим через Из соотношений (14.6), (13.17) и (13.18) получим

Вторая часть вектор-потенциала, определяемая как также дает магнитную индукцию (14.15). Как уже было указано в § 2, при использовании потенциала А, дивергенция которого равна нулю, нет нужды в скалярном потенциале. Эта форма представления нолей получается при применении соотношения (11.11) к скаляру определяемому выражением (14.4).

Если представить себе диполь в виде двух проводников, соединенных между собой тонким проводом длиной I, так что зарядом на проводе можно было бы пренебречь по сравнению с зарядом на концевых проводниках, то дипольный момент окажется равным где максимальная величина заряда на одном из проводников. Максимальная величина тока в проводе равна а В, при малых находится в фазе с током Поэтому для получения поля диполя, ток в котором меняется по закону необходимо в выписанных выше формулах заменить на на . На больших расстояниях от излучателя выражения (14.13) — (14.15) принимают вид

Мгновенное значение потока излучаемой энергии, согласно выражению (13.23) равно

Средняя мощность излучения равна половине амплитуды мгновенной мощности, т. е., как следует из соотношения (13.32), для вакуума

где измеряются в любых, но одних и тех же единипах, в ваттах, а -амплитуда тока в диполе — в амперах. Для реальных антенн эта формула не является точной, даже если не принимать во внимание влияние земли и других близлежащих объектов, потому что ток вдоль антенны распределен неравномерно; однако ею можно пользоваться при введя среднюю неличину амплитуды Потери мощности на излучение, как и омические потери, пропорциональны квадрату тока, поэтому обычно вводят понятие сопротивления излучения, определяя его как коэффициент пропорциональности между мощностью излучения и квадратом эффективного значения тока