§ 11. Постоянные токи в проводящих средах.

В § 1 [формула (6.3)] было показано, что если в установившемся состоянии в проводящей среде нигде не происходит накопления зарядов, то дивергенция плотности тока всюду равна нулю. Согласно закону Ома [формула (6.8)], плотность тока изотропной среде пропорциональна градиенту потенциала и обратно пропорциональна удельному сопротивлению. Из этих формул следует, что

Если среда однородная, то постоянная величина и уравнение (6.45) принимает вид

Сравнивая уравнения (6.45) и (6.46) с уравнениями (3.5) и (3.6), мы видим, что эти уравнения совпадают с уравнением Лапласа, а величина, обратная удельному сопротивлению х, т. е. проводимость среды, играет ту же роль, что и диэлектрическая проницаемость среды в электростатике. Отсюда вытекает возможность использования в теории постоянных токов математического аппарата электростатики. Трубки тока находятся в таком же отношении к эквипотенциальным поверхностям, как и силовые трубки в

электростатике. На границе двух проводящих сред потенциал и нормальная компонента плотности тока должны оставаться непрерывными, так что в соответствии с условиями (1.48) и (1.49) условия на границе имеют вид

Эти соотношения полностью определяют связь значений градиента потенциала по обе стороны границы. Поэтому, если относительные диэлектрические проницаемости обеих сред также различны и не пропорциональны соответствующим проводимостям, то для удовлетворения добавочному граничному условию необходимо ввести еще одну переменную. Считая, что на границе распределен поверхностных! заряд с плотностью а, на основании уравнения (6.45) получаем

Рассматривая магнитные силы, действующие между проводниками, несущими токи (см. следующую главу), можно, казалось бы, придти к заключению, что распределение токов, вычисленное путем решения уравнений (6.45) и (6.46), неправильно, вследствие смещения элементов тока, обусловленного магнитным взаимодействием. В действительности в изотропных неферромагпитных проводниках при наличии магнитного поля всегда имеет место увеличение сопротивления, называемое иногда «продольным эффектом Холла». Вследствие этого в тех областях проводника, где напряженность магнитного поля больше, сопротивление возрастает относительно сильнее, чем в областях с меньшей напряженностью магнитного поля, и относительная плотность тока там уменьшается. Например, в случае постоянного тока в цилиндрическом проводнике плотность тока вблизи оси несколько больше, чем на периферии. Если этот проводник помещен во внешнее однородное поперечное магнитное ноле, которое складывается с собственным магнитным полем тока на одной стороне цплиндра вычитается из него на другой, то появляется боковое смешение тока в направлении, совпадающем с направленпем силы, действующей на проводник. При этом положение эквипотенциальных поверхностей не изменяется и не возникает никаких дополнительных поперечных сил, действующих на проводник, по которому течет ток. Хотя изменение сопротивления проводника можно измерить, однако соответствующее смещение тока при обычных температурах слишком мало, чтобы его можно было заметить. Обычный поперечный эффект Холла вызывает изменение положения эквипотенциальных поверхностей, зависящее от свойств проводника, но распределение тока в этом случае остается неизменным. Однако можно поставить опыт таким образом, что распределение тока в контуре изменится; это изменение наблюдается при помощи чувствительных приборов лишь в очень сильных полях. Итак, изменение распределения тока в проводниках, обусловленное магнитными взаимодействиями, пренебрежимо мало, и результаты, полученные путем решения уравнений (6.45) и (6.46) при заданных граничных условиях, можно рассматривать, поскольку речь идет о влиянии этого взаимодействия, как точные.

Так как удельное сопротивление зависит от температуры, а протекающий по проводнику ток выделяет тепло, то при сильных токах найденные решения окажутся неточными; наибольшие отклонения будут

наблюдаться там, где большая плотность тока вызывает сильное нагревание среды. Поэтому наши результаты будут точны только в том случае, если температурный коэффициент сопротивления среды и плотность тока малы или если токи кратковременны.