§ 7. Проводящий шар в переменном поле.

Пусть шар, имеющий удельное сопротивление магнитную проницаемость и радиус а, помещен в однородное переменное магнитное поле направленное вдоль оси z. Опуская множитель получим следующее выражение для комплексного вектор-потенциала:

Это выражение можно легко проверить, применяя к нему оператор ротора и учитывая соотношения (3.15) и (3.16). Таким образом, в выражениях (11.54) и (11.56) нужно положить поскольку вектор-потенциал вихревых токов должен в бесконечности обращаться в нуль, снаружи шара будем иметь

При величина конечна, поэтому, согласно выражениям (5.465) и (5.466), внутри шара остается только Таким образом, полагая в выражении находим

Из соотношений (7.118) и (7.119) следует, что при а должны выполняться следующие граничные условия:

Полагая в выражениях (11.58) и используя соотношения и обозначая для краткости через через получим

Разрешив эти уравпения относительно , будем иметь

Эти выражения можно представить также при помощи гиперболических функций [см. § 38 гл. Уили Двайт, 808.1 и 808.3]. Согласно уравнению (11.4), плотность тока всюду внутри шара определяется следующим образом:

где дается выражением (11.59). В соответствии с соотношениями (11.58), (3.15) и (3.16) магнитное поле снаружи сферы равно

Подобным же образом из соотношения (11.59) находятся и Сравнение выражений (11.64) или (11.65) с (7.49) показывает, что поле вихре токов подобно полю магнитного диполя, т. е. полю кольца радиуса а, несущего ток где . Если магнитное поле не является переменным, то и в выражении Поэтому [см. § 38 гл. V и Двайт, 657.1 или 657.2] имеем

Выражения (11.61) и (11.62) упрощаются, так что соотношения (11.58) и (11.59) принимают вид

Это точные выражения для статических полей. Из соотношения (11.63) в качестве первого приближения для медленно меняющихся полей имеем

К такому же результату мы придем и в том случае, когда удельное сопротивление становится бесконечно большим. При очень высоких частотах

потому что, согласно результатам § 38 гл. V,

т. е. внутри шара магнитное поле отсутствует, а вихревые токи, как и следовало ожидать, становятся поверхностными.

Чтобы иметь представление о порядке встречающихся здесь величин, вычислим, пользуясь выражением (11.51), значение для переменного поля, изменяющегося с частотой 60 гц (т. е. ). Пусть даны в единицах MKS, тогда для меди . Для типичных железных образцов (в магнитном поле напряженностью ампервитков на метр) и Для графита Таким образом, при этой частоте при расстояниях порядка нескольких сантиметров выражение (11.69) могло бы быть пригодным для железа или меди, но не для графита. Предположение о том, что тангенциальна к поверхности, сильно упрощает вычисление.

Так как мы оперировали в этом параграфе с комплексными амплитудами, то полученные результаты позволяют найти и амплитуду и фазу

искомых величии. Аналогичные граничные условии и такого же вида электродвижущие силы встречаются при решении задачи об экранирующем действии произвольного числа концентрических толстостенных сферических оболочек, но результаты в этом случае записываются в более сложной форме. В частности, оказывается, что если некоторое заданное количество материала распределить между несколькими отдельными концентрическими оболочками, то экранирующее действие усиливается. Более того, существуют оптимальные значения толщин оболочек и расстояний между ними