§ 17. Вынужденные колебания диэлектрического или проводящего шара.

Формулы, полученные в § 13 и 14, позволяют строго решить задачу об установившемся процессе дчффракции плоской электромагнитной волны на однородном шаре. Мы ограничимся случаем, когда шар является идеально диэлектрическим или идеально проводящим. Пусть плоская волна распространяется в направлении z и имеет только -компоненту поля Тогда из соотношений (13.132), (13.133) и (13.21) для комплексной амплитуды напряженности электрического поля, магнитной индукции и вектор-потенциала, относящихся к этой волне, будем иметь

И имеют -составляющие, поэтому для описания волны в сферических координатах потребуются и поля ТЕ и поля Из выражений

(14.82) и (14.83) находим

В разложении (14.92) функция представлена в виде суммы членов типа (14.85). Путем дифференцирования по 0 введем множитель , входящий в соотношение (14.106):

Применив оператор (14.106) к члену в выражении (14.91) с учетом соотношения (5.85), получаем

Итак, части функций и , которые описывают падающую плоскую волну, можно найти путем умножения члена рядов (14.108) и (14.109) на Те же части, которые описывают диффрагированные волны, должны содержать функцию так как эти волны являются расходящимися. Таким образом, имеем

Внутри шара поля должны оставаться конечными в начале координат; поэтому

Приравняв нормальные компоненты воктора электрической индукции, согласно выражениям (14.110) и (14.106), найдем

Приравняв нормальные компоненты вектора магнитной индукции, согласно выражениям (14.110) и (14.106), придем к следующему соотношению:

Тангенциальная составляющая вектор-потенциала А в соответствии с выражениями (14.110) и (14.82) равна

Равенство тангенциальных компонент или А включает в себя только производные по так как члены, относящиеся к уже равны в силу соотношения (14.116). Условия, накладываемые на или -составляющие, приводят к одному и тому же соотношению

Сравнение (14.82) с (14.83) показывает, что входит в выражение для таким же образом, как выражение для Равенство или -составлягощих вектора при включает в себя только -производные от функции потому что члены, содержащие функцию уже равны между собой, всилу соотношений (14.115), (14.117) и (14.83). Поэтому

Приравнивая величины в выражениях (14.115) и (14.118) и разрешая полученное уравнение относительно при помощи соотношений (5.474), (5.403) и (5.404), получим где равно

Такие же формулы, но только с и вместо и получаются и для путем решения уравнений (14.116) и (14.119). В случае идеально проводящей сферы для нахождения нужно левые части соотношений (14.116) и (14.118) приравнять нулю, что дает

Энергия, рассеянная сферой в некотором направлении, равна, согласно выражению (13.143), действительной части комплексного вектора Умова — Пойнтинга

Но из соотношения (5.473) на больших расстояниях, где при можно пренебречь членами имеем

Подставляя это в выражения (14.111), (14.112) и (14.117) для тангенциальной компоненты напряженности электрического поля, рассоянного на шаре, на больших расстояниях от него получим

Для получения полной рассеянной энергии выражение (14.122) надо умножить на и проинтегрировать в пределах Подстановка выражения (14.124) в (14.122) и проведение интегрирования по дающее множитель и, приводят, если опустить аргументы полиномов Лежандра, к выражению

Умножая на и интегрируя от 0 до и, получаем, что первая группа полиномов Лежандра сводится к интегралу (5.198), который равен нулю при и к (5.199) при Интеграл от первого члена второй группы сокращается с интегралом от второго члена. В результате полная рассеянная мощность получается величиной действительной и равной

книгах Макдоиальда и Стрэттона, названия которых приведены в конце этой главы, дискутируются некоторые интересные случаи диффракции на шаре.