§ 25. Римановы поверхности.

Для более отчетливого представлений всех возможностей, заключающихся в том или ином преобразовании, часто бывает полезно пользоваться понятием римановой поверхности, что можно показать на примере предыдущего параграфа.

Фиг. 41. Риманова поверхность.

Хотя все точки плоскости уже были использованы нами для представления положительных значений соотношение (4.109) дает также значения z и при отрицательных для которых Из уравнения (4.113) следует, что область соответствует верхней полуплоскости z, а область нижней полуплоскости. Таким образом, точке на плоскости z соответствуют две точки на плоскости Однако эту двухзначность можно исключить, сделав плоскость z из двух листов. Соединяя эти листы между собой, нужно проявлять крайнюю осторожность, следи за тем, чтобы - при прохождении некоторой точкой непрерывного

контура на одной из плоскостей соответствующая ей точка на другой плоскости описывала также непрерывный контур. На фиг. 41, справа, изображен центральный участок такой поверхности, называемой римановой поверхностью. Линии, относящиеся к нижнему листу, сделаны пунктирными; кроме того, для большей наглядности оба листа показаны разнесенными. Из и из можно перейти только через участок а из и из через участки Окружность радиуса при становится на плоскости z бесконечно удаленной окружностью, лежащей на поверхности Римановы поверхности можно построить для большого числа различных преобразований.