§ 4. Проводящий или диэлектрический цилиндр в однородном поле.
В качестве примера, в котором используются граничные условия на поверхности металла и на границе раздела двух диэлектриков, рассмотрим задачу 
бесконечном проводящем цилиндре радиуса а, покрытом слоем диэлектрика
с относительной проницаемостью К и помещенном в однородное электрическое поле 
перпендикулярное к оси цилиндра. Потенциал этого первоначального поля вне цилиндра можно представить в виде
Потенциал, обусловленный индуцированными зарядами в цилиндре, должен исчезать на бесконечности, поэтому выражение для него не может содержать членов типа 
Кроме того, поскольку этот потенциал должен быть симметричным относительно оси х, в выражении отсутствуют члены, содержащие 
Таким образом, окончательное выражение для потенциала вне цилиндра должно иметь вид
Потенциал ноля внутри диэлектрического слоя также не может содержать членов вида 
но члены 
могут в него входить, так как значения 
находятся вне пределов этого слоя
Если начало координат выбрано на оси цилиндра, то потенциал проводпика 
Таким образом, мы нашли решения уравнения Лапласа, удовлетворяющие условиям на бесконечности и обладающие симметрией относительно оси х. Теперь необходимо удовлетворить граничным условиям на поверхности металла и на границе раздела двух диэлектриков, что позволит определить коэффициенты 
Граничными условиями при 
согласно соотношениям (1.48) и (1.49), будут
или 
Подстановка выражений (4.19) и (4.20) в уравнение (4.21) дает
Для 
из соотношений (4.16) мы имеем
На поверхности проводника 
поэтому
Умножая уравнение (4.22) на 
и складывая с (4.23), получаем
Системе уравнений 
и (4.25) можно удовлетворить, либо полагая 
либо 
Последнее, однако, невозможно в силу независимости величин К и а. Поэтому, учитывая первое соотношение и подставляя его в уравнение (4.23), имеем
Для 
вместо уравнений (4.22) — (4.24) получаем
Решая эти уравнения относительно 
и 
имеем
Следовательно, потенциалы (4.19) и (4.20) соответственно равны
На фиг. 24, а показаны линии электрической индукции.
Фиг. 24.
Полагая в соотношениях 
мы получим решение для металлического цилиндра радиуса а
Поле для этого случая показано на фиг. 24,б.
Решение для диэлектрического цилиндра радиуса 
получим, если положим в соотношениях 
Заметил», что внутри диэлектрического цилиндра поле однородно. Липип индукции изображены на фиг. 25 для 
