§ 30е. Значения функций Бесееля на бесконечности.
Для решения задач, в которых возможны значения 
необходимо знать, как ведут себя при этом функции 
Чтобы найти предельные значения функций, мы воспользуемся приемом, который часто употреблялся Зоммерфельдом. В качестве первого приближения при 
пренебрежем в уравневии (5.302) членами, содержащими 
Получим приближенное дифференциальное уравнение
решение которого имеет вид
Подставим теперь это «пробное» решение в уравнение Бесселя (5.302) и предположим, что 
меняется с изменением V, но настолько медленно, что членами 
можно пренебречь по сравнению» с членами 
Тогда
Асимптотическое решение, таким образом, будет
Отсюда видно, что наибольший из членов, которым мы пренебрегли, оказывается порядка 
Функции 
должны быть действительг ными линейными комбинациями двух решений, соответствующих знаку плюс или минус в выражении (5.334), т. е. должны иметь вид
Чтобы найти зависимость А и а от 
подставим выражение (5.335) в формулы (5.322) и (5.323), которые при 
дают соответственно 
Подстановка приводит к уравнению 
которое удовлетворяется при 
и показывает, что А не зависит от 
Поскольку 
не обязательно целое число, положим в выражении 
и сравним результат с формулой (5.394). Сравнение показывает, что 
дает
где членом 
следует пренебречь, если 
действительное число.
Чтобы получить 
подставим выражение (5.337) в (5.315), заменив предварительно 
и на 
При целом 
получаем в результате 
однако, заменив и числитель и знаменатель их производными
Таким образом, обе бесселевы функции обращаются в нуль на бесконечности. На основании выражения (5.337), (5.338) и (5.321) для функций Ханкеля будем иметь
