§ 23. Полые резонаторы сложной формы.

Одним из наиболее важных видов полых резонаторов является сложный резонатор, состоящий из нескольких простых соединенных между собой полостей, границы которых только частично совпадают с координатными поверхностями. Как правило, в каждом таком отдельном случае требуется специальное решение задачи. Рассмотрим в качестве примера полость, представляющую собой прямой круглый цилиндр радиуса и длины с, внутри которого с одной стороны вставлен другой, более короткий прямой круглый замкнутый цилиндр (радиуса а), коаксиальный с первым. Между основаниями цилиндров с другой стороны образуется при этом зазор с высотой, равной Полость такой формы (ее сечение показано на фиг. 139) нельзя отнести к категории уже рассмотренных нами полых резонаторов. Сначала мы укажем путь отыскания точного решения задачи по методу Ханазатем приведем менее точное решение, справедливое в том важном для практики случае, когда

Фиг. 139.

много меньше или наконец, в заключение нами будет рассмотрена грубая апроксимация, использующая аналогию с линией передачи. Будем интересоваться только полями в полости и наименьшей собственной частотой колобаний. Согласно § 16 и 18 гл. XV, компоненты векторов поля ТМ в областях удовлетворяющие граничному условию можно записать в виде

В области поля, остающиеся конечными при и удовлетворяющие условию при равны

Приравнивая между собой и при и умножая обе части равенства на а затем интегрируя в пределах от до мы получим выражение для коэффициента через все коэффициенты Аналогично, полагая при при а затем умножая обе части равенства на и интегрируя в пределах от с до мы найдем выражение для через все коэффициенты Исключая из этих уравнений коэффициенты А и поделив на выразим величину через отношение Таких уравнений можно написать бесконечное число (по одному для каждого значения поэтому для определения нужно вычислить бесконечный детерминант. Подстановка этих значений в уравнение, соответствующее приводит к следующему соотношению:

Наименьшая величина , удовлетворяющая этому уравнению, определяет величину входящую в выражению (5.166). Амплитуду колебаний всегда можно выбрать такой, чтобы было равно единице.

Осуществление изложенного выше способа решения, очевидно, представляет собой основную трудность всей задачи. Таким образом, намеченный путь только теоретически дает точпоо решение, практически же он неприемлем, так как решение босконечной системы уравнений требуют, большой затраты времени. Однако для облегчения этой операции Хан

составил специальные таблицы. Если много меньше, чем и X, то можно предложить другой метод, позволяющий найти X с большей точностью, чем та, с которой обычно измеряются величины Кроме того, при помощи этого метода можно подсчитать . В случае достаточно малых тангенциальная составляющая электрического поля можду при ее зависит от а определяется только размерами и с и разностью потенциалов в зазоре. Взяв бесконечно большими, мы придем к двухмерной задаче, решенной в § 14 гл. VI (в этом решении вместо и с входят и к). При задача еще более упрощается (на фиг. 63, а следует при этом убрать полосы при Из § 14 гл. VI имеем

где комплексные переменные, — разность потенциалов на зазоре. Для определения на оси х, как функции х, найдем такие комплексные значения величины которые соответствуют в выражении (15.170) значению Подстановка этих значений в выражение (15.171) позволяет получить связь . С точностью до выражение для будет иметь вид

где В результате интегрирования выражения (15.167) в пределах от до при получим, что Подставив эту величину в выражение (15.172) и заменив х на z, приравняем между собой выражения (15.172) и (15.163) при и потребуем равенства нулю выражения (15.163) при а затем, умножив обе части равенства на проинтегрируем в пределах от до Решим теперь последнее уравнение относительно и подставим найденные значения в вырат жение (15.169), которое после этого методом подбора можно решить относительно Морено приводит кривые для таких полостей. Очевидно, - подстановка в выражения (15.164) и (15.168) значений дает вектор магнитной индукции, и, следовательно, можно подсчитать по формуле (15.101).

Приближенное значение резонансной частоты можно найти, исходя из аналогии с линией передачи. При с область полого резонатора напоминает отрезок коаксиальной линии, коротко замкнутой в сечении входной импеданс которого, согласно соотношениям (10.112) и (15.51), равен Область представляет собой конденсатор, шунтирующий линшо и имеющий импеданс При резонансе оба эти импеданса должны быть равны по величине и противоположны по знаку, поэтому приближенное значение находится из соотношения

Мы можем только оценить Рассматривая область как плоский конденсатор и пренебрегая краевым эффектом, мы определим нижвюю

границу величины емкости частном случае, когда , величину можно найти довольно точно, как это, например, сделано в задаче 65.