§ 25. Биаксиальные гармоники.

В некоторых случаях может потребоваться представить зональную поверхностную гармонику через поверхностные гармоники отнесенные к другой оси. Пусть две оси пересекаются в начале координат и координаты оси в системе равны Требуется найти коэффициенты разложения

Умножим правую и левую части этого равенства на и проинтегрируем по поверхности единичной сферы. В правой части все члены, согласно § 24б, обращаются в нуль, за исключением одного, содержащего с учетом выражения (5.194) он равен

Интеграл, стоящий в левой стороне, имеет вид

Точно такой же интеграл появляется в качестве коэффициента при в выражении для потенциала создаваемого в точке зарядом, распределенным по поверхности единичной сферы с плотностью задача была решена в § 14б, и, следовательно, искомый интеграл можно приравнять коэффициенту при в соответствующем решении, пригодном при любых Таким образом,

Используя разложевпе (5.117) и принимая во внимание, что интегралы от произведений типа обращаются, согласно формуле (5.92), в нуль, получаем правой части один член:

Но потенциал был вычислен в § 14б [формула (5.97)]:

В нашем случае координаты точки относительно оси 0 равны так что , и равенство коэффициентов при в двух различных выражениях для означает

Приравнивая интегралы (5.214) и (5.215), определяем

Если то интегралы (5.214) и (5.215) вычисляются при помощи формул (5.127) и (5.97):

Подстановка в соотношение (5.213) дает

где при при Этот символ носит название символа Кронекера и в более общем виде записывается причем при при