§ 24. Щель, прорезанная в бесконечной плоскости.

Для получения поля вблизи плоского проводящего экрана, в котором прорезана щель шириной , можно отогнуть участок действительной оси, лежащий между точками , и растянуть его так, чтобы он охватил всю нижнюю полуплоскость z, поверхность которой на плоскости протягивается сквозь разрыв в начале координат. Из фиг. 40 видно, что поэтому из соотношения (4.85) получаем

В результате интегрирования имеем

Фиг. 40. Плоскость со щелью, имеющая одну границу с однородным полем.

Необходимо, чтобы при Это выполняется при так что окончательно имеем

Если исходить из однородного вертикального ноля на плоскости z, и положить а, то такое преобразование оставляет на плоскости z без изменений поле на бесконечности и искажает его вблизи экрана со щелью; при этом часть поля проникает сквозь щель. Из соотношения (4.109), взяв в качестве потенциальной функции V, находим

Если мнимую часть корня всегда брать положительной, то, чгобы верхней полуплоскости поля складывались, а в нижней — вычитались, нужно в выражении (4.110) выбрать знак плюс.

Плотность погерхностного заряда на экраье дается выражением

где знак выбирается так, чтобы в верхней полуплоскости оба члена скла дывалйсь, а в нижней — вычитались.

Пользуясь преобразовавием (4.109), легко получить на плоскости поле заряженной нити, расположенной вблизи заземленной металлической плоскости с прорезанной в ней щелыо, исходя из ноля заряженной нити над заземленной плоскостью на плоскости

Запишем правую часть соотношения (4.109) в полярных координатах и решим полученные уравнения относительно х и у:

Возведем оба уравнения в квадрат и сложим

Таким образом, если то полуокружности ратиуса и радиуса преобразуются на плоскости z соответственно в верхвгою и нижнюю половины эллипса, описываемого уравнением (4.114). Полуокружности радиуса распрямляется, превращаясь в отрезок действительной оси