§ 19. Многосвязные цилиндрические полые резонаторы.

В многосвязной полости всегда можно провести такую замкнутую кривую, которую нельзя сжать в точку без пересечения границ полости. Если полость ограничена снаружи двумя параллельными плоскостями и нормальной к ним цилиндрической поверхностью, а изнутри одной или более цилиндрическимй поверхностями, также нормальными к этим плоскостям, то внутри полости возможны такие типы колебаний, частота которых определяется только

расстоянием между плоскостями. Эти типы колебаний называются основными (главными). Они удовлетворяют второй системе граничных условий, определяемых выражениями (15.5), причем и представляют собой стоячую волну типа тех волн, которые существуют в линиях передачи (см. § 14—19 гл. XIII). На основании соотношения (15.88) резонансные частоты, соответствующие главным типам колебаний, для такой многосвязной полости равны

Поля можно записать при помощи выражений (13.119) и (13.120) в виде

и сопряженные функции, рассмотренные в гл. IV, причем на одном семехтстве цилиндрических поверхностей принимает значение а на другом — значение Согласно соотношению (4.55), интеграл от или по замкнутому контуру, на котором равен приращению величины Обычно эта величина равна как, например, для эллиптических цилиндров (см. фиг. 38, где вместо V нужно подставить Пусть мгновенное значение заряда на метр для главного типа колебаний в сечении z равно Определим эквивалентный заряд полого резонатора через среднее значение при помощи соотношения (1.40) следующим образом:

Пусть мгновенное значение тока в главном типе колебаний на поверхностях с потенциалами в сечении z равно I Определим эквивалентный ток полого резонатора через среднее значение при помощи выражения (7.2) следующим образом:

Тогда мгновенные значения электрической и магнитной энергии будут равны

где емкость и самоиндукция на единицу длины. Если и С — эквивалентные самоиндукция и емкость полости, то на основании выражений (13.124) и (15.136) они связаны между собой следующим образом:

Если максимальная разность потенциалов между стенками полости в некоторый момент времени, то электрическая энергия в полости равна

где Следовательно, при таком определении все соотношения между имеющие место для контуров с сосредоточенными параметрами, сохраняют силу и для главных типов колебаний. Для определения потерь вычислим поверхностный интеграл в выражении (15.98). торцевых плоскостях на основании соотношений (15.137) и (15.140) имеем

Так как величины такие же, как для соотношения (15.137), то на двух семействах цилиндрических поверхностей, имеющих потенциалы имеем

Подстановка выражений (15.140), (15.143) и (15.144) в формулы (15.98) — (15.100) дает

Для вычисления линейного интеграла необходимо выразить как функцию как это было сдельно в выражении (4.103), откуда ясно, что функция . В первом интеграле нужно положить равным а во втором — равным а область интегрирования в обоих случаях необходимо распространить на все значения V, покрывающие поверхность