§ 20. Примеры на вычисление сил взаимодействия между электрическими контурами.

Для двух бесконечных параллельных проводов, нахо дящихся на расстоянии а друг от друга и несущих токи согласно выражениям (7.79) и (7.97), поскольку мы имеем

Отсюда, очевидно, сила отталкивания на единицу длины равна

Фиг. 73.

Положительный знак берется при противоположном направлении токов а отрицательный — при одинаковом направлении их.

Вычислим теперь силу взаимодействия двух коаксиальных проволочных петель радиусов но которым протекают токи как показано на фиг. 73. Вследствие симметрии очевидно, что сила взаимодействия является силой притяжения, поэтому, согласно выражению (7.97), единственной эффективной компонентой магнитной индукции оказывается величина этой компоненты одинакова для всех элементов каждого из контуров. Поскольку координаты контура с током равны то сила определяется выражением

Подставляя сюда значение из соотношения (7.53), получим

где, согласно выражению (7.50), модуль к равен

Сила будет иметь обратное направление, если один из токов направить в противоположную сторону.

Это выражение для силы нетрудно представить в виде ряда. Действительно, объединяя выражения (7.97) и (7.72), при будем иметь

потому что в выражении а в выражении

Другой более быстро сходящийся ряд можно получить следующим способом.

Если две петли имеют разные радиусы, то можно выбрать начало координат в вершине кругового конуса, проходящего через эти петли и имеющего угол раствора, равный Пусть радиус-вектор малой петли, радиус-вектор большой петли; тогда сила взаимодействия между петлями равна

где определены выражениями (7.72) и (7.73). Таким образом,

Суммирование начинается с потому что член, соответствующий равен нулю. Последнее выражение можно упростить, используя результаты § 2 гл. IV и соотношение (5.119). Заменим на где и учитывая, что при получим