§ 23. Многоугольник с двумя углами.

Среди большого числа различных примеров, относящихся к этому случаю, выберем лишь одив, а именно, преобразование действительной оси в прямоугольник шириной 2а. Положим в соотношения тогда

Интегрирование этого выражения (Двайт, 260.01 или 320.01) дает

Пусть (используется вторая форма записи) и пусть z тоже равно нулю при Кроме того, выберем а равным — или тогда

Наиболее употребительным является применение преобразования (4.102) к однородному полю на плоскости z. Взяв а равным — и заменив z на получим

Вертикальные полоски плоскости z при отображении на плоскость ока зываготся развернутыми в стороны, как показано на фиг. 38.

Фиг. 38. Преобразование полубесконечной вертикальной полосы верхнюю полуплоскость.

Если в качестве потенциальной функции взять V, то на плоскости z, будет изо бражена верхняя половина поля заряженной полоски тпирипы если же за потенциальную функцию взять то получается верхняя половина поля двух полубесконечных копланарных листов, которые отстоят друг от друга на расстоянии и разность потенциалов между которыми равна Отделяя в соотношении (4.103) действительную и мнимую части (Двайт, 408.16), получаем

Разделим первое выражение на а второе на а затем возведем их в квадрат и сложим

Криные являются, таким образом, конфокальными эллипсами, большие и малые оси которых соответственно равны Аналогично, разделив первое выражение на а второе на а затем возведя их в квадрат и вычтя одно из другого, получим

Кривые нвлнются конфокальными гиперболами. Заметим, что если V принимает значения от 0 до , а от до и от до в нижнеи полуплоскости, то получается картина ноля заряженвои

полоски во всей плоскости. При пересечении с этой полоской гиперболические силовые линии терпят разрыв. Если принимает значения от к до а V от 0 до в нижней полуплоскости, то получается полная картина поля двух плоскостей. Эллиптические силовые линии терпят разрыв при прохождении через проводящие плоскости.

Фиг. 39. Преобразование поля одной заряженной плоской полосы в участок поля заряженной решетки, состоящей из копланарных параллельных плоских полос.

Предположим теперь, что мы имеем дело не с одиночной заряженной полоской, а с большим числом таких параллельных полосок, расположенных в одной плоскости на одинаковых расстояниях друг от друга. Ясно, что поле в такой системе будет периодично вдоль оси х и что можно рассматривать только отдельный типичный участок его, для чего нужно, как это показано на фиг. 39, перегнуть ось в точках и применить преобразование (4.102) к (4.103), заменив в нем на и а на

где период решетки. Ноле показано на фиг. 39. Так как , когда положить и интересующее нас преобразование можно записать в виде

Хотя мы нашли ноле только в верхней полуплоскости, однако полученная форма решения одинаково хорошо описывает поле и при причем для того чтобы V принимало только положительные значения, нужно менять в пределах При напряженность ноля равна поэтому для получения преобразования для поля необходимо умножить формулу (4.106) на Если над решеткой простирается (до однородное поло а под решеткой однородное поле отсутствует, то к полученному решению

нужно прибавить что дает

При этом величина напряженности поля в любой точке равна