Глава V. ТРЕХМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА

§ 1. При каких условиях поверхности некоторого семейства могут быть эквипотенциальными?

На первый взгляд кажется, что трехмерное распределение потенциала, обладающее аксиальной симметрией, можно получить путем такого вращения поперечного сечения двухмерного распределения потенциала, при котором границы трехмерной области образуются из границ поперечного сечения соответствующей двухмерной области. В общем случае, однако, это оказывается несправедливым. Найдем условие, которому должно удовлетворять семейство непересекающихся поверхностей, чтобы оно могло быть семейством поверхностей равного потенциала. Пусть уравнение поверхностей имеет вид

Поскольку каждому значению С соответствует одна из поверхностей семейства, то, если эта поверхность эквипотенциальная, каждому значению С должен соответствовать определенный потенциал

удовлетворяющий уравнению Лапласа. Дифференцирование дает

Подставляя в уравнение Лапласа, получим

откуда

Таким образом, поверхность может быть эквипотенциальной только в том случае, если отношение является функцией только С.

Путем интегрирования уравнения (5.2) можно найти действительное значение потенциала. Поскольку мы имеем

или

Повторное интегрирование дает

Постоянные можно определить, если задано значение потенциала на двух поверхностях, принадлежащих семейству (5.1).