§ 20. Сферический конденсатор с малым расстоянием между центрами внутренней и внешней обкладок.

В качестве примера граничных условий, содержащих поверхностные гармонические функции, вычислим приближенно распределение заряда на внутренней обкладке сферического конденсатора, предполагая, что расстояние между центрами внутренней и внешней обкладок невелико. (Если внутренний радиус а почти равен внешнему то для получения удовлетворительной точности приходится учитывать очень много членов в формулах, найденных в § 9а методом изображений.) Выберем начало координат в центре внутренней сферы; тогда приближенное уравнение внешней поверхности будет

где с — расстояние между центрами и Это соотношение вытекает из формулы (5.117), так как, если пренебречь членами порядка при формула (5.117) даст

Поскольку граничные условия содержат и и поскольку точки находятся вне поля, потенциал должен иметь вид

где малые поправки порядка с. Граничные условия записываются следующим образом:

при

при

(произведениями пренебрегаем). Коэффициенты при следует, согласно формуле (5.129), порознь приравнять нулю, откуда находим

Решая уравнения, получим

Можно вычислить также плотность поверхностного заряда

(членами порядка пренебрегаем). Отметим, что при интегрировавии о поверхности сферы поправочный член выпадает, так что с точностью до члепов порядка с емкость конденсатора получается такой же, как и в случае концентричных сфер.