§ 22. Ортогональные функции в задаче о диффракции. Излучение открытого конца коаксиальной линии.
Развитый в последних двух параграфах метод не применим к неплоским экранам, но даже и для плоского экрана вычисление интеграла (14.138) в непосредственной близости от отверстия часто бывает затруднительным. В этих случаях можно исходив из решений скалярного волнового уравнения, записанных в виде
Координата 
отсчитывается в направлении, нормальном к экрану, 
являются ортогональными криволинейными координатами на его поверхности. Интеграл берется по поверхности экрана и отверстия; 
при любых 
кроме 
Такие решения уже встречались нам [см. (14.85), (14.128) и (14.129)], мы будем иметь с ними дело также и в ряде эадач о волноводах. Для проводящего экрана величина 
вычисляется по значению тангенциальной составляющей напряженности электри ческого поля 
отверстии.
Этим методом можно, например, найти излучение от открытого конца коаксиальной линии. Поле на больших расстояниях проще вычислять по формуле (14.138), но при нахождении поля вблизи отверстия используемый здесь метод предпочтительнее. Область существования электромагнитного поля в линии ограничена изнутри и снаружи цилиндрами радиусов 
Линия соединена с плоскостью 
являющейся идеально проводящей всюду, за исключением 
При вычислении поля излучения в области 
мы будем предполагать, что 
и для отыскания поля при 
будем пользоваться методами электростатики. Для любого радиального распределения потенциала оно находится путем интегрирования последнгго по плоскости 
потенциал которой считается равным нулю всюду, кроме узкого кольца радиуса 
и ширины 
имеющего потенциал 
Потенциал 
созданный этим кольцом в точке 
на оси, можно найти при помощи теоремы взаимности Грина, исходя из значения заряда 
индуцированного зарядом 
находящимся в точке 
на кольцевом элементе заземленной плоскости. Чтобы определить 
надо в формуле (5.25) положить 
При 
разложение в ряд (см. Двайт, 9.05) дает
Для получения 
в точке 
подставим 
вместо z и умножим на 
Потенциал в плоскости 
будет иметь значения
Если подставить это в выражение (14.147) и проинтегрировать (Двайт, 610.9), то
Для нахождения поля излучения надо положить в 
и 
в результате чего получится расходящаяся волна. Величины 
определяются путем приравнивания коэффициентов при 
в выражении для 
полученном из 
соответствующим коэффициентам в выражении для 
даваемом соотношением (14.149), при 
Из выражений (14.85) и (14.82) получим
Поскольку 
мало, то вместо производных в этом выражении можно,
согласно (5.472) и (5.473), написать: 
Чтобы найти при 
в выражении (14.149) вместо 
напишем 
а вместо 
подставим 
Приравнивая коэффициенты и разрешая относительно 
находим
Электрическое и магнитное поля при 
больших 
определяются из соотношений (14.82), (14.85), (14.110) и (14.83) в виде
Эти выражения дают поля в области 
Если 
они удовлетворяют совершенно строго граничным условиям (14.148). Пренебрегая высокими степенями и 
и удерживая только первые члены в рядах, для поля на больших расстояниях, где 
можно заменить на 
получим
Как ясно из сравнения с выражением (14.17), это поле эквивалентно полю на больших расстояниях, создаваемому элементом тока 
где 
теше 
так что мощность, излучаемая в верхнее полупространство, равна половине мощности, определяемой выражением (14.19)
Этот же метод применим и в случае неплоских экранов, таких, например, как бесконечный проводяший коаксиальный конус с подключенной к нему линией. Ход решения здесь тот же самый, однако отправным пунктом должен быть § 276 гл. 
. В приводимых ниже задачах содержатся другие примеры на применения этого метода.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
