Глава XV. ВОЛНОВОДЫ И ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

§ 1. Волны в полых цилиндрических трубах.

В § 15 —19 гл. XIII было показано, что вдоль двух или большего числа идеально проводящих цилиндров, расположенных один внутри другого, могут распространяться плоские электромагнитные волны. Если эти цилиндры окружить еще одним, внешним, идеально проводящим цилппдром, то на очень высоких частотах внутри такой системы появятся незатухающие волвы других типов; в частности, внутри одиночного проводящего цилиндра простые плоские волны не могут существовать. Любую, как внутреннюю, так и внешнюю, границу цилиндрического волновода можно получить путем перемещения образующей параллельно оси z. Часто рассматривают волноводы, замкнутые в сечении и простирающиеся от до Как было доказано раньше [см. выражение (13.21)], любую волну можно описать при помощи вектор-потенциала А, который в соответствии с § 15 гл. XIII выражается через решение скалярного волнового уравнения двумя способами, один из которых приводит к волне поперечно-электрического типа (ТЕ), а другой — к волне поперечно-магнитного типа (ТМ). Соответствующие дифференциальные уравнения имеют вид

Нас будут интересовать установившиеся решения, соответствующие процессам, происходящим с круговой частотой . В этом случае, как следует из § 2 гл. XI, вектор-потенциал, удовлетворяющий первому уравнению, а также ротор этого вектор-потенциала можно выразить через решения скалярных уравнений следующим образом:

где . В формулах (14.130) и (14.131) эти выражения даны в цилиндрических координатах. Как и в § 18 предыдущей главы, можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от z, а другая — только от поперечных координат. Тогда скалярное уравнение (15.1) распадается на два

Здесь V зависит только от поперечных координат определяется граничными условиями и симметрией системы. Обозначим через

единичный вектор, нормальный к поверхности границы, т. е. совпадающий по направлению с А. Согласно соотношениям (15.2), граничные условия можно записать в виде

Здесь координата, измеряемая на цилиндрической поверхности вдоль линии пересечения ее плоскостью, перпендикулярной к оси z, так что Таким образом, функция на границе должна удовлетворять условиям

Второе и третье условия в соотношениях (15.5) совпадают с теми, которые встречались нам при рассмотрении главных волн (см. § 15 и 19 гл. XIII), т. е. волн, скорость распространения которых не зависит от частоты. Такие волны возможны только при наличии двух или более проводящих цилиндров.

Поскольку дифференциальные уравнения (15.3) являются уравнениями второго порядка, то каждое из них имеет два независимых решения, а их общее решение можно записать в виде

При постоянная распространения является чисто мнимой величиной и экспоненциальные множители в выражении (15.6) свидетельствуют о наличии двух незатухающих волн, распространяющихся соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси z. Если же поскольку поля должны оставаться конечными, необходимо положить при а при положить Тогда в оставшемся члене величина чисто действительная что приводит к экспоненциальному убыванию поля вдоль z. Критическая частота и критическая длина волны типа соответственно равны

Чтобы распространить на волноводы понятие характеристического импеданса, подставим в определение (13.136) значения из соотношения (13.134). Это дает

Выражая эту же величину через критическую частоту, получаем

Как и в соотношении (13.134), знак выбирается в зависимости от направления распространения волны: верхний знак соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси z, а нижний — волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси z. Заметим, что при частотах выше критической характеристический импеданс для обеих волн представляет действительную величину, что свидетельствует о передаче энергии вдоль волновода; при частотах ниже критической характеристический импеданс является чисто мнимым. В этом имеется отличие от того определения линии передачи, которое было дано в § 17 гл. XIII.

Из соотношений (15.6) и (15.7) получаем выражение для фазовой скорости распространения волны при

где - скорость распространения света в среде, заполняющей волновод. Групповая скорость на основании соотношений (13.157) и (15.12) равна

Итак, При очень высоких частотах фазовая и групповая скорости приближаются к скорости волн в свободном пространстве. Выразим векторы электрического и магнитного полей через при помощи соотношений (15.2) и (15.3):

Здесь удовлетворяют уравнению (15.3); как видно из соотношений (15.2), размерность их различна.