§ 17. Уравнение границы в параметрической форме.

Пусть является уравнением одной из интересующих пас эквипотенциальных

поверхностей, причем х и у могут быть представлены в виде действительных аналитических функций некоторого действительного параметра который меняется в таких пределах, что х и у описывают всю поверхность проводника. Тогда существует очень простой метод получения решения уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничному условию на атой поверхности. Действительно, если

то искомым решением будет

На поверхности проводника потому что при подстановке этого значения в соотношение (4.74) получаем параметрическое уравнение поверхности, в котором только вместо параметра используется

К сожалению, число задач, при решении которых можно применять этот метод, чрезвычайно ограниченно. Среди них следует упомянуть задачи о нахождении поля в системе конфокальных конусов или в системе проводников с различными циклоидальными поверхностями. В качестве примера определим, насколько исказится однородное электрическое поле при внесении в него волнистой металлической поверхности, образующая которой описывается уравнением циклоиды

Отсюда что дает При больших отрицательных значениях потенциала так что мы действительно получаем однородное поле, направленное вдоль у, его напряженность равна Отсюда находится постоянная и выражение для принимает вид

Для определения поля в любой точке продифференцируем это выражение, в результате получим

На поверхности проводника и поэтому для плотности заряда на ней имеем

Этот результат относится к полю с той стороны поверхности, на которой имеются острые края. С другой стороны поверхности поле отсутствует, так что на поверхности происходит разрыв непрерывности.