§ 24а. Присоединенные функции Лежандра.

В § 13 и 15 настоящей главы было показано, что решением уравнения Лапласа в сферических координатах является произведение где

а является решением уравнения (5.102), которое, если ввести вместо принимает вид

При нахождении решения этого уравнения мы исходили из уравнения Лежандра, соответствующего Выполняя дифференцирование произведения в первом члене уравнения Лежандра, можно привести последнее к виду

Решениями этого уравнения являются Диффоренцируя уравнение Лежандра раз и обозначая через V, получаем

Вводя или получим уравнение (5.179) в виде

Это уравнение совпадает с уравнением (5.178), в чем нетрудно убедиться, выполнив дифференцироваппе в первом члене (5.178); следовательно, решения уравнения (5.178) имеют вид

Поскольку у является решением уравнения Лежандра, то общее решение уравнения (5.178) записывается следующим образом:

где при определяются по формулам

Для Гобсон вводит в правые части множитель В тех случаях, когда будучи действительной или мнимой величиной, по модулю больше единицы, функции определяются следующим образоь:

Эти функции известны как присоединенные функции Лежандра первого и второго рода. Их можно получить при помощи формул (5.182) и (5.183) из уже известных выражений для

Для действительных значений меньших единицы, формулы (5.182) и (5.183) дают

Для больших значений используются рекуррентные формулы § 24г.

При действительных значениях больших единицы, формулы для функций определяемых согласно выражениям (5.184) и (5.185), можно получить заменой в приведенных выше выражениях (5.186) множителя на кроме того, заменой на в логарифмическом члене функции Для больших значений тип используются рекуррентные формулы §

Для мнимых значений аргумента, согласно § 16з, § 22д и формулам и (5.185), будем иметь

В формулах для изменяется от 0 до и при значении С, изменяющемся от до

Если то, подставляя формулы (5.116) и (5.148) в (5.184) и (5.185), получаем

В случае при подстановке формулы (5.114) в (5.182) сохраняется только член, соответствующий в результате получается решение, найденное в § 126 [формула (5.81)]:

Для можно дать интегральное представление; пригодное при любых

Подстановка в уравнение (5.178) и двукратное интегрирование по частям показывает, что выражение (5.191) удовлетворяет уравнению Лежандра. Постоянный множитель нетрудно проверить, если устремить (интеграл при этом вычисляется) и сравнить результат с формулой (5.188).