§ 9. Общая теория цепей.

В § 6 было отмечено, что выбор контурных токов можно сделать по-разному, лишь бы они были независимыми и допускали бы существование различных токов в каждой отдельной ветви цепи. Если число узлов цепи и число ветвей то полное число независимых контурных токов определяется формулой

В мосте Уитстона (см. § 6) Обозначим сопротивление ветви, по которой протекает только один контурный ток через , а сопротивление ветви, но которой протекают два или большее число токов, — через два тока из тех, которые протекают по данной ветви). Сумму сопротивлений всех ветвей, по которым протекает ток обозначим так что если ни в одной ветви не протекает больше двух токов, то

Если ток нигде не протекает по ветви, общей с током то в формуле (6.31) отсутствует индекс

Выбрав независимые контурные токп и используя введенные выше обозначения, можно написать законы Кирхгофа для независимых контуров цепи в следующей форме:

В этих уравнениях всегда положительно; в уравнениях, где встречается следует брать со знаком плюс, когда токи проходят по общей ветви в одном и том же направлении, и со знаком минус, когда они текут навстречу друг другу. Электродвижущая сила берется со знаком плюс, если она помогает току и со знаком минус, если она ему противодействует. Если токи нигде не проходят по одной и той же ветви, то в уравнениях (6.32) член отсутствует. Заметим, что, по определению,

Если две ветви не имеют общего узла, то контурные токи всегда можно выбрать таким образом, что в каждой из них будет протекать только один ток, хотя для этого приходится, вообще говоря, вводить три (или большее число) тока в некоторых других ветвях. Выбрав таким образом токи, обозначим через алгебраическое дополнение элемента в определителе

Заметив, что вследствие равенства (6.33)

Найдем из системы уравнений (6.32) ток случая, когда единственная з. д. с. , действующая в цепи, включена в ветвь, по которой

протекает только один ток наоборот, найдем ток когда единственная э. д. с. включена и ветвь, несущую ток Мы получим

Из формул (6.35) и (6.36) следует важное соотношение взаимности: если то Иными словами, если включенная в одну из двух ветвей, вызывает некоторый ток в другой ветви, то та же самая будучи включенной во вторую ветвь, вызывает в первой такой же ток.

Если э. д. с. включена в ветвь, то вместо формул (6.36) мы будем иметь

Откуда, поделив одно равенство на другое, находим

Формула (6.37) позволяет выразить отношение любых двух токов через сопротивления элементов цепи.

Докажем теперь теорему Тевеннна, которая иказываотся иногда полезной при расчете цепей. Эта теорема утверждает, что, если напряжение разомкнутой цепи между двумя ее концами равно а ток, текущий между при замыкании их пакоротко, равен I, то сопротивление всей цепи, измеренное между точками при условии, что из цепи удалены все источники а все сопротивления остались неизменными, будет равно Из теоремы следует, что подключение точек к любой другой цепи равносильно подключению к ней батареи с и внутренним сопротивлением Чтобы доказать теорему, предположим, что к точкам подклычено очень большое сопротивление Тогда в детерминанте (6.34) все члены, не содержащие будут пренебрежимо малы по сравнению с членами, содержащими так что, принимая во внимание выражение (6.31), при Разность потенциалов между создаваемая всеми включенными в цепь, как видно из формулы (6.36), будет равна

Если точки замкнуты накоротко, то, сопоставляя это выражение с формулой (6.36), получаем

Сравнивая полученную формулу с выражением для сопротивления цепи между точками которое можно получить из формулы (6.36), будем иметь

что и доказывает теорему.

Существует класс цепей, имеющих большое практическое значение, для которых контурные токи можно выбрать так, что будут удовлетворены следующие условия: имеется по крайней мере одна ветвь, через которую проходит только один ток; в ветвях, где текут два тока, они направлены навстречу друг другу; через любую ветвь протекает не более двух токов. В этом случае в детерминанте (6.34) и в левых частях уравнений (6.32) все

члены вида положительны и члены вида отрицательны. Токи мы имеем право перенумеровать как нам угодно, поэтому при решении уравнений относительно можно допустить, что в ветви, где включена протекают токи . В правых частях уравнений (6.32) мы заменим на на и положим при или 3. Вместо формулы (6.35) получаем

Два определителя в скобках отличаются только своими вторыми строками. Их сумма равна, следовательно, определителю, вторая строка которого получается сложением соответствующих элементов вторых строк этих определителей и имеет вид

а остальные строки такие же, как у каждого из складываемых определи телей. Величина определителя не меняется, если к каждому элементу какой-нибудь строки прибавить соответствующие элементы любой другой строки. Заменим поэтому вторую строку суммой всех строк, так что окончательное выражение с учетом соотношений (6.31) и (6.33) примет вид

Если обозначить этот определитель через то для рассматриваемой цепи получаются формулы, аналогичные формулам (6.36),

Формулы (6.40) обычно оказываются более удобными, чем формулы (6.36), так как знаки уже приняты во внимание при выборе контурных токов.