§ 22в. Выражение функций Лежандра второго рода через полиномы Лежандра.
Полезное выражение для 
можно получить из уравнения Лежандра, если известно, что 
является его решением. Из уравнений (5.76) и (5.77) следует, что если 
является одним из решений дифференциального уравнения
где 
— функции х, то второе его решение будет
Для уравнения Лежандра 
так что 
или 
и формула (5.155) принимает вид
Чтобы определить постоянные 
положим 
Интегрируя при помощи формул (140) и (152.1) справочника Двайта и используя приведенное там же разложение (601.2), получим
Из формул (5.144) и (5.145) следует, что 
для величин 
выражения (5.106) и (5.107), будем иметь
Таким образом, общая формула для 
имеет вид
в частности
и
Используя формулу (5.149), получим
Повторное применение формулы (5.149) дает
Это выражение справедливо при 
Общее решение уравнения Лежандра будет
Если положить 
и подставить в решение (5.160), то
Следовательно, при 
в качестве формулы, определяющей 
можно принять
Полагая 
и используя разложение (Двайт, 601.3), получаем, что определенные таким образом выражения для величин 
совпадают с (5.147).
