§ 16. Свободные колебания проводящей сферы.

Приводимые в § 13 решения волнового уравнения можно с успехом применить для изучения электромагнитных колебаний сферических тел. Как следует из выражения (14.82), возможны два типа колебаний: поперечно-электрические и поперечно-магнитные. Исследование выражения (14.85) показывает, что при снаружи сферы будет существовать стоячая волна [см. соотношение (5.399)], а при расходящаяся волна [см. соотношение (5.473)]. Решение должно быть исключено, так как оно равно бесконечности при . В случае диэлектрического или не идеально проводящего шара поле будет существовать и внутри него. Мы воспользуемся суммой решений типа (14.85), взятых пока с неопределенными, но различными для внешней и внутренней областей коэффициентами. Найденные при помощи выражения (14.85) по этим решениям значевия вектор-потенциала должщы удовлетворять граничным условиям (7.118) и (7.119), как это имело место в § 7 гл. XI.

В качестве простого и интересного примера рассмотрим случай идеально проводящей сферы. Если начальное поле внутри сферы было равно нулю, то оно будет отсутствовать и во все последующие моменты времени, так что потери энергии обусловливаются только излучением. Входящую в выражение (14.85) неизвестную, вообще говоря, частоту колебаний нужно определить из граничных условий. Сначала исследуем колебания поперечно-магнитного типа, могущие возникнуть, например, при перемещении сферы в статическом электрическом поле. Простейшее колебание соответствует

значениям в выражении (14.85), для которого, учитывая соотношение (14.82),

Условие равенства нулю тангенциальной компоненты электрического поля при согласно соотношению дает

Подставляя в выражение (14.85) найденные отсюда два значения для получим

При помощи соотношений (5.471), (5.473) и подстановки

после объединения произвольных постоянных действительную часть можно записать в виде

Из формул (14.103) и (13.84) видно, что длина волны колебаний равна 7,26а и при прохождении волной расстояния, равного диаметру сферы, ее амплитуда уменьшается в раз. Таким образом, колебания очень быстро затухают, исчезая уже через несколько периодов. Аналогичным путем можно рассмотреть и колебания поперечно-электрического типа.

Подобный, но только более сложный анализ применим и по отношению к вытянутому, сфероиду. Если эксцентриситет сфероида велик, то он прекрасно апроксимирует собой прямой провод конечной длины.