§ 11. Теорема единственности при наличии диэлектрических сред.

Если уравнение Лапласа имело бы несколько решений, удовлетворяющих одииаковым граничным условиям, то нужное решение пришлось бы выбирать путем эксперимента и от всей теории потенциала было бы очень мало пользы. Пусть в некоторой области заданы величины и положения всех фиксированных зарядов и известен также потенциал по всей границе области, за исключением, может быть, некоторых замкнутых проводящих поверхностей, на которых заданы полные заряды. Докажем, что в этом случае потенциал V определен однозначно. Предположим, что существуют два значения удовлетворяющие граничным условиям и уравнению Лапласа. Тогда и разность их также должна удовлетворять уравнению Лапласа, т. е., согласно формуле (3.5),

что справедливо, так как фиксированные заряды выпадают. Положим в соотношении Согласно § 8, интегралы но границе раздела двух диэлектриков исчезают, если на границах нет поверхностных зарядов. Подстановка дает

Те поверхностные интегралы в левой части, которые соответствуют границам с заданным потенциалом, исчезают в силу того, что в каждой точке. Поверхности же с заданным зарядом являются, по условию, проводящими, т. е. на них постоянны и могут быть вынесены за знак интегрирования. Поэтому для поверхности имеем

По предположению, полный заряд на этой поверхности фиксирован, так что и вся левая часть выражения (3.33) обращается в нуль. Поскольку подинтегралыюе выражение справа всегда положительно, то величина всюду должна быть равпа нулю. Таким образом, разность должна быть постоянной, но на границе она равна нулю, значит она равна нулю во всей области. Теорема доказана.