§ 29. Плоская решетка из цилиндрических проводов большого диаметра.

В § 21 мы пришли к выводу, что задача о нахождении поля около плоской решетки, образованной из цилиндрических проводов малого радиуса, может быть сведена к задаче, в которой вместо цилиндрических поверхностей проводов рассматриваются эквипотенциальные поверхности решетки, состоящей из линейных зарядов. Если же диаметры проводов, образующих решетку, соизмеримы с расстояниями между ними, то использованное приближение совершенно несправедливо. Однако в этом случае можно воспользоваться методом, изложенным в предыдущем параграфе. Возьмем в качестве типичного участка поля решетки область, отмеченную сплошной

линией на фиг. 43, а. Из этой фигуры следует, что должны быть связаны между собой следующим дифференциальным выражением:

Приведем теперь один из способов определения постоянной до сих пор еще упоминавшийся.

Фиг. 43.

Если постоянная величина, то, так как

Если и меняется от 0 до то z проходит значения от до Подставляя в соотношение и устремляя будем иметь

Таким методом пользуются довольно часто; действительно, для определения постоянной не обязательно проводить интегрирование в общем виде, достаточно проинтегрировать какой-нибудь простой частный случай, обычно или Интегрирование выражения (4.138) [сделаем замену и примеиим формулу (140.02) из справочника Двайта] дает

Если то не является действительной величиной и

Если то не является чисто мнимой величиной и

Вычитая одно из другого, получим

Чтобы выразить X через построим график отношения левой части этого уравнения к правой части как функцию X и найдем то значения X, при которых это отношение равно единице. Определив значения X и сложив выражение (4.141) и (4.142), по лучим формулу, определяющую

Фиг. 44.

Ричмонд исследовал вопрос, насколько точно эта кривая может быть анроксиммровапа окружностью и показал, что расстояние от начала координат отличается от с не более чем на 2% при

Для получения решения в случае, когда решетка образует одну из границ однородного поля (фиг. 44,в), нужно наложить поле, изображенное на фиг. 44,а, на ноле, изображенное на фиг. 44,б (на этих фигурах эквипотенциальные линии сплошные, а силовые линии пунктирные). В случае интересующая нас функция на плоскости согласно соотношению равва

где V — потенциальная функция. Чтобы в одной нологке фиг. 38 помещалось а не силовых линий, необходимо положить тогда

Аналогично в случае участок оси между точками — следует считать находящимся под нулевым потенциалом. Поэтому, смещая начало координат, получим

При наложении обоих полей приходим к случаю т. е. к случаю однородного поли при и поля, равного нулю, при Как

и в соотношении (4.103), за потенциальную функцию выбрана В упомянутой выше работе можно найти аккуратно выполненные графики полей в таких системах.