§ 34б. Интегральное представление модифицированных бесселевых функций второго рода.

Значение на бесконечности. Подстановка в левую часть уравнения (5.406) дает при

Объединяя первый и третий члены (Двайт, 650.01) и интегрируя по частям, будем иметь

Полученное выражение совпадает со вторым членом, и, следовательно, рассматриваемый интеграл удовлетворяет уравнению (5.406). Поскольку любое решение уравнения (5.406) должно иметь вид и поскольку интеграл обращается в нуль при не входит в решение и . В § 36а будет показано, что в соответствии с выражением (5.439) следует принять , так что

Выражение

также обращается в нуль при поскольку входит в нодинтегральное выражение в виде где Из рекуррентных формул (5.418) и (5.419) следует, что

Из формулы (5.419) тогда получим

где при и нечетном и при четном. Формула (5.417) показывает, что д.

Другое интегральное представление для имеет вид

Бейтман выводит это соотношение следующим образом. Рассмотрим функцию

где Дифференцирование ее даст

Таким образом не зависит от Полагая получаем так что, согласно формуле (5.443), Подстановка дает совпадает в этом случае с интегралом (5.444), что и доказывает справедливость формулы (5.444).

Для вывода интегральной формулы, применяемой при исследовании диффракции на щели, подставим формулу (5.443) в формулу (5.442), заменим интеграл от 0 до половиной интеграла от до и изменим порядок интегрирования. В результате получим (см. Двайт, 567.1)