§ 14. Разложение плоской волны по полиномам Лежандра.

Для удовлетворения граничным условиям на сферических поверхностях часто бывает необходимо иметь разложение плоской волны по функциям (14.85). Хотя для простоты мы будем рассматривать волну, распространяющуюся вдоль оси однако полученные ниже результаты можно отнести и к волнам, распространяющимся вдоль любых других осей. Из выражений (13.132) и (13.133) можно видеть, что координата будучи умноженной на входит в формулы для плоских волы только через показатель экспоненциальной функции. Поэтому в качестве коэффициента перед при разложении в ряд по полиномам Лежандра нужно взять Из выражения (5.130)

Разложение в ряд экспоненциальной функции (Двайт, 550) дает

При -нечетных этот интеграл равен нулю; поэтому заменим на взяв пределы интегрирования от 0 до 1, поставим перед интегралом множитель 2. В знаменателе этого выражения вместо можно написать (Двайт, 850.7 и 855.1), тогда при помощи соотношения (5.407), заменив на получим

При отсутствии затухания можно заменить на учитывая соотношение (5.407), получить

Таким образом, искомое разложение будет иметь вид

Для волны надо заменить на или, что то же самое, на Это эквивалентно [см. соотношение (5.314) или § 13 гл. V] введению в правую часть множителя