§ 25. Ток, обусловленный движением пространственного заряда. Уравнение Чайльда.
До сих пор мы рассматривали токи в проводниках, суммарный заряд которых был равен нулю. Рассмотрим теперь токи в проводниках, несущих заряды только одного знака, так что суммарный заряд отличен от нуля. Движение зарядов следует считать настолько медленным, что формулы электростатики остаются справедливыми. В этом случае должно удовлетворяться уравнение Пуассона (3.6), согласно которому
где V — потенциал и 
плотность заряда. Допустим, что все заряды одинаковы, что каждый из них связан с массой 
и что всю свою энергию они получают от наложенного поля. Тогда энергия частицы, скорость которой равна 
а заряд 
в точке с потенциалом V будет
где 
потенциал в начальной точке. Плотность тока в произвольной точке будет равна
В простейшем случае заряды в неограниченном количестве эмиттируются плоскостью 
и ускоряются по направлению к плоскости 
под действием приложенного напряжения 
На плоскости 
эмиссия зарядов продолжается до тех пор, пока не исчезнет увлекающее их электрическое ноле. Поэтому граничное условие имеет вид
Скорости всех зарядов направлены по оси х, так что, исключая 
из уравнения (6.116) при помощи формул (6.117) и (6.118), получим
Умножая это выражение на 
и интегрируя от 
до 
будем иметь
Извлекая из обеих частей квадратный корень и интегрируя от 
до 
найдем плотность тока
Это выражение известно под названием закона Чайльда. Оно показывает, что при неограниченной эмиссии зарядов из одной пластины ток между пластинами пропорционален потенциалу в степени 3/2. Такой ток называется «током, ограниченным пространственным зарядом». Как видно из формулы (6.121), ограничение пространственным зарядом значительно сильнее сказывается на заряженных атомах, чем на электронах, вследствие их большей массы.
На практике эмиттер часто имеет вид тонкого, круглого цилиндра, а эмиттированные заряды перемещаются по направлению к большому цилиндру, концентричному с эмиттером. В этом случае удобно воспользоваться цилиндрическими координатами, и если I — полный ток на единицу длины цилиндров, то уравнение (6.118) принимает вид
Записав уравнение (6.116) в цилиндрических координатах при помощи уравнения (3.18), исключив, согласно формулам (6.117) и (6.122), 
и заменив 
на V, получим
Непосредственное решение этого уравнения затруднительно, если даже вообще возможно. Можно, однако, получить его решение в виде ряда следующим способом: предположим, что 
и V входят в искомое решение в такой же форме, как и в выражение (6.121), и будем искать решение (6.123) в виде
Нужно определить 
так, чтобы удовлетворялось уравнение (6.123). Подстановка выражения (6.124) в уравнение (6.123) дает
где
Решение этого уравнения можно найти обычным методом в виде ряда
В формуле (6.126) через а обозначен радиус внутреннего цилиндра. Таблица значений 
как функции 
опубликована Ленгмюром.
