§ 11. Сферический постоянный магнит в однородном поле.

Вычислим, для примера, вращающий момент, действующий на равномерно намагниченный шар, помещенный в среду с магнитной проницаемостью магнитная индукция в которой до внесения шара была всюду однородна. Пусть а — угол между Очевидно, что момент, действующий на пленку тока в поле, создаваемом этим током, равен пулю, и поэтому достаточно вычислить индукцию, обусловленную наличием внешнего поля. Вектор-потенциал, описывающий поле В, в сферических координатах равен

Выражение (7.48) для вектор-потенциала содержит подобную зависимость от 6, но стремится к нулю на бесконечности. Поэтому логично выбрать добавочный член, обязанный присутствию шара с проницаемостью именно в такой форме. Итак, вне шара имеем

Поскольку должно быть конечным в начале координат и иметь ту же самую зависимость от , то

Чтобы определить используем граничные условия (7.118) и (7.119) при Это дает уравнения

Решая относительно С и подставляя в выражение (12.22), получим

При это выражение по форме совпадает с выражением (12.21), и, согласно (12.23), оно представляет однородное поле в направлении В. Момент, действующий на кольцевой элемент тока, лежащий между и (где — полярный угол, отсчитываемый от оси намагничивания), равен произведению силы тока в кольце, площади кольца, магнитной индукции и

Подставляя из § 9 выражение для и интегрируя (Двайт, 854), найдем

Можно было бы вычислить силу и момент, действующие на шар при помещении его в неоднородное поле. В этом случае выражение для силы состояло бы из двух членов: один относился бы к силе, действующей на шар с проницаемостью а другой — к силе, действующей на поверхностный ток, проходящий по сфере. Эти силы можно вычислить, используя результаты § 19 гл. VII и соотношение (11.69).