§ 22. Граничные условия для магнитных полей и для вектор-потенциалов.

В предыдущем параграфе мы определили вектор-потенциал А для тех областей, где намагниченность не является однородной, а также на поверхностях, где она терпит разрыв. Найдем граничные условпя, которым должен удовлетворять вектор-потенциал А. Каждая из трех компонент А определяется скалярным выражением, аналитически совпадающим с выражением (1.8) и имеющим в случае вакуума вид

Ото выражение определяет электростатическим потенциал в свободном пространстве, обусловленный распределением электрических зарядов с объемной

плотностью рис поверхностной плотностью а. Из электростатики известно, что значение потенциала на внутренней стороне поверхности определяемое этими интегралами, равно значению потенциала на внешней стороне поверхности Далее, применяя теорему Гаусса о потоке электрической. индукции к небольшому дискообразному элементу объема, примыкающему к элементу поверхности и настолько тонкому, что можно считать пренебрежимо малым но сравнению с после сокращении на получим соотношение

Таким образом, мы знаем граничные условия, которым удовлетворяют интегралы вида (1.8), а следовательно, и каждая компонента выражения Складывая все компоненты и заменяя на получим

и, как следует из выражения (7.111),

Если с одной стороны от границы имеется намагниченность а с другой стороны то для получения граничных условий достаточно представить себе, что граница является тонким слоем с некоторой магнитной проницаемостью, для границ которого можно написать условия (7.113) и (7.114), относя их к одной и той же нормали. Исключая затем найдем

и

Чтобы выразить второе граничное условие через величину магнитной проницаемости, вместо напишем и воспользуемся соотношением

Вследствие условия последние два члена пропадают. Заменяя на и используя выражение (7.5), после некоторых преобразований получпм

Подставляя значение из соотношения (7.111), найдем

Согласно условию равно нулю на всей границе, поэтому градиент этого выражения вдоль границы также обращается в нуль. Таким образом, является вектором, нормальным к границе. Но правая часть вышенаписанного соотношения представляет собой вектор, направленный вдоль поверхности границы, поэтому

Теперь можно написать граничные условия, накладываемые на компоненты вектора А, в системе ортогональных криволинейных координат

рассмотренных в § 4, 5 и 6 гл. III. Пусть на границе координата является постоянной, тогда, согласно условию (7.115), имеем

Введем в левую часть выражения вместо В, после чего, используя соотношения (3.14) — (3.16), получим

Соотношения (7.118) и (7.119) являются искомыми граничными условиями.

Чтобы получить граничные условия, накладываемые на В, заметим, прежде всего, что, согласно условию (7.115), разность вектор-потенциалов в двух точках на границе раздела двух сред сохраняется при переходе через границу. Следовательно, производные от вектор-потенциала по обе стороны от границы, взятые в одинаковом направлении, параллельном границе, должны быть также равны между собой. Вектор лежит в касательной плоскости к границе, поэтому содержит только подобные производные. Напишем известное векторное тождество для дивергенции векторного произведения

При подстановке сюда вместо А последний член, согласно условию (7.115), исчезает, и мы получаем

Подставляя В вместо находим

Таким образом, нормальные компоненты магнитной индукции на границе раздела двух сред меняются непрерывно. Исходя из выражения (7.117), для тангенциальных компонент магнитной индукции находим следующее соотношение:

- Часто. оказывается возможным ввести два вектора отличающихся от и являющихся более простыми. Роторы этих векторов всюду дают то же значение магнитной индукции, что и роторы ; однако эти векторы, как будет показано в § 5 гл. VIII, удовлетворяют вместо условия (7.115) следующим граничным условиям:

На примере, разбираемом в следующем параграфе, будет ясно видно, что эти векторы являются более удобными при вычислении, чем Они не определяются однозначно (как при помощи интегралов типа Мы будем называть их квазивектор-потенциалами.