10. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы.
Для вычисления средней энергии каждого осциллятора, находящегося в термодинамическом равновесии со стенками полости, применим к этим осцилляторам классическую статистическую механику.
Хотя эта теория выводилась для одних только осцилляторов вещества, но при выводе пользуются лишь формальными свойствами уравнений движения. Поэтому любые другие системы, формально ведущие себя подобно осцилляторам вещества, должны обладать тем же самым равновесным распределением энергии. В классической статистической механике [15] показано, что в любом ансамбле независимых, невзаимодействующих систем (подобных ансамблю осцилляторов излучения) вероятность того, что координаты лежат в интервале от 
до 
а соответствующие импульсы между 
равна [72, 89]
здесь 
полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, А — нормировочный фактор, определяемый из требования, чтобы интеграл, дающий полную вероятность, равнялся единице, а именно
Для идеального газа 
и мы получаем известное распределение Максвелла — Больтцмана для скоростей
Для гармонического осциллятора имеем
Удобно преобразовать эти уравнения, введя новые независимые переменные, определяемые выражениями
Это дает 
Вероятность того, что система находится в интервале между 
и 
равна
Перейдем к полярным координатам 
в фазовом пространстве, где
Теперь элемент поверхности имеет вид
Так как мы не интересуемся зависимостью от угла 
то можем проинтегрировать по этой величине. Тогда для нормированной вероятности нахождения энергии между 
получаем
Среднее значение энергии 
находим интегрированием выражения 
по всем возможным значениям энергии. Это означает, что мы оцениваем каждое значение энергии ее вероятностью 
В итоге находим
где 
Таким образом, мы показали, что средняя энергия каждого осциллятора равна 
Этот вывод является частным случаем общей теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы (см. [11], стр. 161; [71], т. 1, стр. 257).
Объединяя уравнения (1.29) и (1.30), получаем закон Релея — Джинса
Так как этот закон противоречит опытам, то мы заключаем, что представления классической физики в некотором отношении недостаточны для описания явлений взаимодействия вещества и излучения.
