15. Трехмерный гармонический осциллятор.

До сих пор рассматривался лишь одномерный гармонический осциллятор (см. гл. 13). Полезно обобщить это исследование на три измерения не только потому, что трехмерный осциллятор сам по себе представляет определенный интерес, но также и потому, что, как мы увидим, эту задачу можно решить двумя различными способами, каждый из которых демонстрирует определенный важный квантовомеханический принцип.

В механике показано, что всегда можно выбрать такую систему координат, в которой потенциальная энергия трехмерного гармонического осциллятора равна

где соответственно угловые частоты и -компонент колебания. В общем случае все эти три величины могут быть различными. Координатные оси, по отношению к которым потенциал

принимает эту относительно простую форму, называются главными осями. В общем случае, когда оси не являются главными, потенциал принимает форму где соответственно для

Примером трехмерного гармонического осциллятора может служить атом в кристалле. Для такого атома в кристаллической решетке есть положение равновесия, около которого атом совершает простое гармоническое движение, когда он подвергается слабому возмущению. Если кристалл анизотропен, то все угловые частоты колебания вдоль главных осей кристалла различны. Для изотропного кристалла все три значения одинаковы, и мы получаем

Таким образом, в общем случае V не является радиально симметричной функцией, за исключением того случая, когда все три частоты равны.

Уравнение Шредингера в общем случае имеет вид

Это уравнение можно решить, разделив переменные. Ищем решение в виде

Тогда уравнение (15.34) переписывается так:

Для нахождения решения надо, чтобы каждая из трех вышеприведенных скобок равнялась по отдельности постоянной. Эти постоянные мы обозначим соответственно через

Тогда получаем уравнения

Каждое уравнение аналогично уравнению для одномерного гармонического осциллятора, поэтому энергии равны