53. Интерпретация формул второго приближения для энергии.

Мы видели, что выражения первого приближения для энергии дают как раз среднее значение гамильтониана

определенное с помощью волновых функций нулевого приближения Покажем теперь, что выражение для энергии во втором приближении равно средней величине гамильтониана, определенного с помощью нормированных волновых функций первого приближения. Это является частным случаем общего правила, гласящего, что приближение для энергии может быть получено путем усреднения гамильтониана с помощью нормированных волновых функций приближения.

Прежде всего выпишем нормированную волновую функцию первого приближения (выражение (18.119)). Так как функция (18.119) нормирована только до членов первого порядка по X, то мы должны умножить полную волновую функцию на соответствующий множитель, который обозначим буквой А. Тогда получим

где А — нормировочный коэффициент, определяемый соотношением

Этот интеграл можно упростить, если принять во внимание нормировку и ортогональность функций Получаем

Заметим, что отличается от единицы только членом второго порядка. Если разложить в ряд по степеням то получим (до членов второго порядка)

Следующим этапом является определение среднего значения гамильтониана. Оно равно

Так как функция нормирована, то первый интеграл в правой части этого уравнения точно равен Второй интеграл равен (используем равенство

Вследствие нормировки и ортогональности функций этот интеграл равен

если пренебречь членами порядка выше чем Третий интеграл в правой части имеет вид

Пренебрегая членами третьего порядка малости и выше, получаем

Заметим, что с точностью до членов второго порядка малости Для суммы всех трех интегралов имеем

Но это как раз совпадает со вторым приближением для энергии (уравнение Последний результат доказывает нашу теорему для случая второго приближения. Аналогичное доказательство может быть получено и для приближений высших порядков.