11. Определение энергетических уровней.

Наша следующая задача заключается в определении расстояния между энергетическими

Рис. 4.

уровнями. Для изучения этого вопроса ограничимся вначале системой с одной степенью свободы, которая совершает ангармоническое периодическое движение. Такой системой может быть, например, ангармонический осциллятор (в котором квазиупругая сила не пропорциональна смещению) или электрон в атоме водорода. Для ангармонического движения характерна зависимость периода от амплитуды и, следовательно, энергии. Например, период маятника возрастает с ростом амплитуды, также возрастает период вращения электрона в атоме при увеличении радиуса орбиты. Следовательно, в общем случае и только для гармонического осциллятора частота не зависит от энергии

Выясним прежде всего, как определяются энергетические уровни. Известно, что расстояние между уровнями равно где частота излучаемого света. Но в классическом пределе есть определенная функция которая может быть вычислена из уравнений движения. Если справедлив принцип соответствия, то эти две частоты должны совпадать по крайней мере в классическом пределе при больших квантовых числах, следовательно,

Принципиально энергетические уровни уже определены этой формулой. Отсчитывая энергию от произвольного нулевого значения, получаем для энергии состояния

где целое число, достаточно большое, чтобы оставаться в классической области, произвольная постоянная.

В уравнении (2.8) остается некоторая неоднозначность, так как величина связана с двумя энергетическими уровнями, и мы точно не знаем, каким из них пользоваться при вычислении Наилучшей, по-видимому, является средняя величина. В классическом пределе эта неоднозначность несущественна, потому что вообще говоря, она становится существенной только тогда, когда изменение частоты возникающее вследствие изменения энергии становится сравнимым с или когда

Для гармонического осциллятора, где этот метод квантования правилен для всех энергий. Даже если то метод может дать по крайней мере оценку величины энергии.

Существует несколько более изящный метод для оценки энергетических уровней, который также имеет смысл рассмотреть для того, чтобы еще раз подчеркнуть связь между классической и квантовой механикой. Определим прежде всего функцию

где опять достаточно большое число.

По определению, функция изменяется на величину если изменяется на единицу. Однако в классическом пределе испытывает только маленькое относительное изменение, когда изменяется на единицу, и, как мы видели, относительное изменение также весьма мало. Поэтому конечную разность можно заменить приближенно дифференциалом, а сумму — интегралом. В результате получаем

Дифференцирование дает

где - период. С классической точки зрения является полностью определенной функцией, способной принимать непрерывные значения. Однако, согласно квантовой теории, она может принимать только дискретные значения, отличающиеся друг от друга на величину Это общее условие квантования. Для гармонического осциллятора не зависит от Следовательно, и Это обычное квантовое условие для гармонического осциллятора. Хотя этот метод определения энергетических уровней строг только для классического предела, он дает приблизительно правильные результаты, даже если величина попадает в более низкую квантовую область.