3. Возможные значения l и m; полуцелые квантовые числа момента количества движения.

Исследуем теперь снова вопрос о том, как определяются возможные значения Мы увидим, что на основании более общего матричного представления можно получить как целые, так и полуцелые значения для этих величин. В гл. 14 были получены только целые значения, что является результатом определенных строго ограниченных условий, которые фактически осуществляются в случае орбитального момента количества движения, но не имеют места для спина.

Нам нужно определить возможные значения пусть волновая функция, тогда можно всегда получить волновые функции или действуя соответственно (см. уравнения (17.3)) операторами Хотя этот процесс в конце концов приводит можно получить произвольно большие значения Но, согласно уравнению (14.30), Поэтому ясно, что должны существовать значения: максимальное и минимальное Поскольку при переходе от мы меняем значение только на целые числа, разность должна быть также целым числом. Но в уравнениях (14.33) и (14.34) было показано, что Таким образом, ясно, что целое число, а может быть или целым, или полуцелым. В гл. 14 были выбраны только целые значения но когда дело доходит до общего определения оператора через его коммутаторы, то возможны также и полуцелые квантовые числа для момента количества движения.

Учтя этот результат, проверим теперь заново требование, использовавшееся в гл. 14, согласно которому волновая функция должна быть однозначной функцией точки. Все, что можно реально потребовать, сводится к однозначности всех физических наблюдаемых величин. Это достигается, когда средние значения произвольной наблюдаемой величины являются однозначными функциями. Последнее требование, несомненно, удовлетворяется выбором

только целых значений Однако его можно также удовлетворить и выбором только полуцелых значений, потому что тогда произвольную волновую функцию можно разложить в ряд

Если меняется на то умножается на —1, но остается при этом неизменным. Однако, если одновременно присутствуют и целые и полуцелые моменты, тогда даже вероятности не будут однозначными. Так, при

получаем

Когда меняется на это выражение принимает вид

.

Следовательно, разумную теорию орбитального момента можно построить, только когда все моменты будут либо целыми, либо полуцелыми, но только не теми и другими одновременно. Опыт показывает, что фактически существуют лишь целые орбитальные моменты. Например, если выбрать полуцелые то это приведет к водородному спектру, сильно отличающемуся от наблюдаемого. Однако при квантовании собственного момента электрона нет причин для априорного выбора целых или полуцелых спинов, и оказывается, что для согласия с опытом надо воспользоваться полуцелыми значениями спина.